Piensa en una cuerda cerrada: puedes moverla y estirarla, pero no cortarla ni hacer que dos tramos se atraviesen. Un dibujo plano no muestra toda esa información; necesitamos indicar qué pasa por encima. Empezaremos por esas reglas visibles y después estudiaremos el espacio que queda alrededor de la cuerda.
Si necesitas repasar:
1. Un nudo tiene una componente; un enlace puede tener varias
Un nudo suave es un encaje de S¹ en S³: una circunferencia sin autointersecciones en el espacio tridimensional. Podemos trabajar en R³ y añadir un punto en el infinito que no toque el dibujo. Un enlace es un encaje de varias circunferencias disjuntas.
Dos nudos son equivalentes por isotopía ambiente si una deformación continua del espacio mediante difeomorfismos lleva uno al otro, empezando en la identidad. No permite cortar ni atravesar tramos. Orientar cada cuerda añade un sentido de recorrido; orientar el espacio ambiente es un dato diferente.
Un aro frente a dos aros
Comparar una circunferencia con dos circunferencias separadas.
Contar componentes
La primera tiene una y la segunda dos.
Mover el ambiente
Un difeomorfismo envía componentes conexas a componentes conexas.
Concluir
No puede transformar el primer enlace en el segundo.
El número de componentes ya los distingue.
Que dos aros estén enlazados o separados no cambia que tengan dos componentes.
Una imagen en espejo no es una deformación autorizada automática
Se refleja un nudo quiral en un plano.
Operación
La reflexión invierte orientación del espacio ambiente.
Equivalencia fijada
Una isotopía desde la identidad conserva esa orientación.
Resultado
La reflexión produce el nudo especular, que puede no ser isotópico al inicial.
Hay que especificar si se permite invertir el ambiente.
No todo nudo es quiral; el ejemplo advierte que el espejo no es siempre equivalente bajo la relación fijada.
2. En un cruce del dibujo, los dos tramos no se están tocando
Una proyección genérica de un nudo al plano tiene cruces dobles. En cada cruce marcamos el arco superior continuo y dejamos un pequeño hueco en el inferior. La cuerda real sigue siendo continua: el hueco del dibujo expresa altura.
Los movimientos de Reidemeister, junto con deformaciones planas, describen los cambios de diagrama de nudos isotópicos: rizo, pareja de cruces y deslizamiento de un tramo sobre un cruce. El número de cruces de un dibujo puede cambiar. El número de cruces del nudo es el mínimo entre todos sus diagramas.
Añadir un rizo no crea otro nudo
Partimos del diagrama circular sin cruces y dibujamos un rizo de tipo I.
Nuevo dibujo
Aparece un cruce marcado con su altura.
Movimiento permitido
El rizo puede quitarse por Reidemeister I.
Tipo
Sigue representando el nudo trivial.
Un diagrama con un cruce puede representar el mismo nudo que uno sin cruces.
No se confunde el cruce del diagrama con el mínimo del nudo.
Borrar las marcas borra información
En un cruce se conserva solo una X plana.
Dos opciones
El arco oblicuo de una dirección puede pasar arriba o puede hacerlo el otro.
Dato ausente
La X sin marcas no indica cuál ocurre.
Consecuencia
No podemos reconstruir unívocamente el diagrama del encaje tridimensional.
Hace falta el orden de alturas en cada cruce.
Cambiar un cruce no es, en general, un movimiento de Reidemeister permitido.
3. El exterior convierte la cuerda en una variedad compacta con borde
Un entorno tubular N(K) del nudo es un toro sólido S¹×D²: cada punto de la cuerda tiene un pequeño disco normal. El exterior 
, que queda al retirar el interior de N(K) de S³, es compacto y su borde es T². No es el mismo conjunto que el complemento abierto S³ sin K.
El complemento abierto se retrae sobre ese exterior moviendo radialmente los discos normales perforados hasta su borde, sin tocar el centro excluido. Por eso comparten grupo fundamental y homología.
; Z)=Z; para un enlace de r componentes, H₁=Zʳ.No confundir el nudo con su borde tubular
K es una sola circunferencia.
Cuerda
Tiene dimensión uno.
Entorno
S¹×D² tiene dimensión tres.
Frontera
S¹×S¹ tiene dimensión dos y es el borde del exterior.
Hay tres objetos de dimensiones distintas.
El toro frontera no es una segunda componente de la cuerda.
La homología detecta cuántas cuerdas hay
Comparar exteriores de enlaces con una y tres componentes.
Una componente
H₁=Z, rango uno.Tres componentes
H₁=Z³, rango tres.Interpretar
Cada generador registra una vuelta meridiana alrededor de una componente.
Los rangos distintos impiden que sus exteriores tengan la misma homología.
En cambio, dos nudos distintos tienen ambos rango uno: ese dato no los distingue siempre.
4. Las relaciones de los cruces construyen un grupo que puede no conmutar
Una presentación de Wirtinger asigna un generador meridiano a cada arco del diagrama y una relación de conjugación en cada cruce.
Hay que fijar orientación y sentido del cruce para elegir la relación correcta.
El exterior del nudo trivial es un toro sólido y su grupo es Z.
En esta presentación concreta no se llaman meridianos a ambos generadores. El grupo conserva cómo se combinan los recorridos, no solo cuántas veces damos vueltas.
Una relación de conjugación al abelianizar
Partimos de c=aba⁻¹.
Conmutar
En el grupo abeliano usamos suma para la operación.
Traducir
c=a+b−a=b.Interpretar
Los generadores meridianos conectados por ese cruce tienen la misma clase abeliana.
La conjugación deja de verse al abelianizar.
Antes de abelianizar no se puede cancelar a con a⁻¹ atravesando b sin justificar conmutación.
Un cociente no abeliano del grupo del trébol
Enviar a a la transposición (12) y b al ciclo (123) en S₃.
Relación
(12)² y (123)³ son ambos identidad: la asignación respeta a²=b³.Imagen
Una transposición y ese ciclo generan S₃.
Conclusión
Existe una sobreyección sobre un grupo no abeliano; el grupo del trébol no es abeliano.
No puede ser el grupo Z del nudo trivial.
No se afirma que el grupo del trébol sea S₃: S₃ es aquí un cociente.
5. Abelianizar el trébol deja Z y pierde la distinción anterior
Por tanto el abelianizado es Z²/⟨(2,−3)⟩. Como el vector (2,−3) es primitivo, ese cociente no tiene torsión y tiene rango uno.
Su núcleo son los pares (2t,−3t), exactamente la relación impuesta. El primer teorema de isomorfía da el cociente Z.
Identificar una clase por un entero
Enviar el par (4,−5) por φ.
Calcular
3·4+2·(−5)=12−10=2.Cambiar representante
Sumar la relación (2,−3) da (6,−8).
Recalcular
3·6+2·(−8)=18−16=2.
La imagen no cambia al añadir la relación.
Así φ está bien definida en el cociente.
Verificar el núcleo entero
3m+2n=0.
Divisibilidad
3m=−2n implica que m es par, porque dos y tres son coprimos.
Sustituir
Escribir m=2t; la ecuación da n=−3t.Kernel
Cada elemento es t(2,−3), y todos esos pares van a cero.
No queda una relación adicional ni torsión escondida.
Trébol y trivial comparten H₁=Z, aunque sus grupos fundamentales sean distintos.
6. Meridiano y longitud distinguen dos recorridos del toro frontera
En el borde del exterior, el meridiano μ rodea el disco normal de la cuerda. La longitud preferida λ recorre el nudo de forma paralela y tiene número de enlace cero con él. Ambos son recorridos del toro, no dos nudos nuevos del problema.
En H₁(), μ genera Z y λ vale cero. Pero en el grupo fundamental λ no tiene por qué ser trivial. El grupo junto con los datos periféricos de borde guarda más información que un grupo abstracto; un espejo puede tener grupo isomorfo sin ser el mismo nudo orientado.
También se estudian superficies de Seifert, género y polinomio de Alexander.
Reducir una pendiente en homología del exterior
La clase del borde es 7μ−3λ.
Incluir en el exterior
μ pasa al generador y λ a cero.
Calcular
7[μ]−3·0=7[μ].Comparar
Se obtiene la misma clase que con 7μ, aunque los recorridos del borde difieran.
La inclusión en homología pierde el coeficiente longitudinal.
No dice que 7μ−3λ sea igual a 7μ como curva del toro.
Cero en homología no significa lazo contráctil
Un lazo representa un conmutador aba⁻¹b⁻¹.
Abelianizar
Su suma es a+b−a−b=0.Grupo inicial
Si a y b no conmutan, el conmutador puede ser distinto de la identidad.
Interpretar
H₁ no decide por sí solo si ese lazo se contrae.
La longitud puede requerir información más fina que su clase homológica.
Este cálculo explica la pérdida de información; no identifica cualquier conmutador con la longitud de un nudo dado.
7. El relleno de Dehn mata una pendiente primitiva
Pegamos un toro sólido al borde de . Especificamos dónde va su meridiano: a una pendiente pμ+qλ con mcd(p, q)=1. Primitiva significa que no es un múltiplo entero no trivial de otra clase; en el toro corresponde a una curva simple esencial.
Rellenar por μ recupera S³. Esta cuenta no determina toda la variedad: pendientes diferentes pueden producir la misma homología.
Rellenar por 5μ+2λ
Los coeficientes cinco y dos son coprimos.
Pendiente válida
mcd(5,2)=1: es primitiva.Nueva relación
El meridiano del toro pegado se contrae y exige 5[μ]+2[λ]=5[μ]=0.
Cociente
Z/5Z tiene cinco clases.
La homología primera del relleno es Z/5.
5μ+λ también da Z/5; esta coincidencia no demuestra que los rellenos sean homeomorfos.
Comparar relleno meridiano y longitudinal
Pendientes μ y λ.
Meridiano
p=1, q=0: H₁=Z/Z=0 y ese pegado reconstruye S³.Longitud
p=0, q=1: no se impone relación no nula sobre [μ], y H₁=Z.Distinguir
Los grupos homológicos ya son diferentes.
Cambiar la pendiente puede cambiar el tipo topológico.
Una pendiente 0μ+2λ no sería primitiva y no define la curva simple requerida.
8. Heegaard y suma conexa son maneras diferentes de descomponer una 3-variedad
Una descomposición de Heegaard de una 3-variedad cerrada orientada la obtiene pegando dos cuerpos de asas por su superficie frontera. El género indica cuántas asas tiene cada cuerpo; el mapa de pegado aporta otro dato que no se puede omitir.
La descomposición prima corta en cambio por esferas y expresa la variedad como suma conexa de factores primos, esencialmente únicos. Irreducible significa que toda esfera embebida bordea una bola. En el caso orientable, S²×S¹ es el factor primo básico que no es irreducible.
Dos bolas dan el ejemplo de género cero
Pegar D³ a D³ por toda su esfera frontera.
Cuerpos
Cada bola es un cuerpo de asas de género cero.
Frontera
La superficie común es S².
Resultado
Se obtiene S³; es la separación en hemisferios.
La superficie de Heegaard tiene dimensión dos y la variedad resultante tres.
No se obtiene S²: esa es la interfaz del pegado.
Una esfera que no bordea bola en S²×S¹
Tomar S²×{p}.
Cortar
Al abrir el círculo en p, queda S²×[0,1].
Conexidad
El espacio cortado sigue siendo conexo: la esfera no separaba la variedad.
Bola
El borde de una bola embebida sí separa el interior de la bola del otro lado.
Esa esfera no bordea una bola, así que S²×S¹ no es irreducible.
Su carácter primo es otro teorema; no se deduce solo del cálculo de corte.
9. Cortar por toros organiza piezas, pero no convierte todo en una única geometría
Para una 3-variedad compacta orientable irreducible, el teorema JSJ proporciona una familia mínima de toros incomprensibles, única hasta isotopía, que separa piezas de Seifert y piezas atoroidales. Incomprensible significa aquí que el mapa de grupos fundamentales de la inclusión es inyectivo.
La geometrización describe las piezas mediante modelos geométricos apropiados; no exige que toda variedad cerrada tenga una sola geometría homogénea. Para distinguir nudos combinamos grupo, información periférica, polinomios y geometría. Ningún invariante parcial se convierte en completo solo por ser fácil de calcular.
El toro frontera del nudo trivial es compresible
Su exterior es un toro sólido D²×S¹.
Lazo del borde
El círculo ∂D²×{p} es esencial en el toro frontera.
Disco interior
Bordea D²×{p} dentro del toro sólido.
Inclusión
Una clase no trivial del borde va a identidad: la inclusión no inyecta π₁.
Ese toro no satisface el criterio de incomprensibilidad.
Hay que especificar dentro de qué variedad se considera el toro.
Dos comprobaciones que llegan a conclusiones distintas
Comparar trébol y nudo trivial.
Homología
Ambos tienen H₁=Z: esta prueba no los distingue.
Grupo
El trébol tiene un cociente no abeliano S₃; el grupo del trivial es Z.
Conclusión
Los grupos no son isomorfos y sus nudos no son isotópicos.
Una igualdad de homología no anula una diferencia detectada por un invariante más fino.
Esta prueba distingue estos dos ejemplos, sin afirmar que el grupo abstracto clasifique todos los nudos orientados.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Abelianizar el trébol
Abelianiza ⟨a,b:a²=b³⟩.
Relación inicial
El grupo es ⟨a, b | a²=b³⟩.Abelianizar
Usamos suma y obtenemos 2a−3b=0 en Z².Mapa al entero
φ(m, n)=3m+2n anula el vector de relación (2,−3).Sobreyectividad
φ(1,−1)=1, de modo que su imagen es todo Z.Núcleo
3m+2n=0 implica m=2t, n=−3t: el núcleo es exactamente ⟨(2,−3)⟩.Cociente
Por el primer teorema de isomorfía, el abelianizado es Z.
El abelianizado es Z.
Coincide con H₁ del complemento de cualquier nudo.
EJEMPLO RESUELTO 2
Número de componentes
Distingue un nudo de un enlace de dos circunferencias.
Primer enlace
Un nudo es imagen de una copia de S¹ y tiene una componente.
Segundo enlace
Dos circunferencias disjuntas forman dos componentes.
Equivalencia
Una isotopía ambiente termina en un difeomorfismo del ambiente.
Invariante
Un homeomorfismo preserva las componentes conexas.
Comparación
Uno y dos son distintos, por lo que esa transformación no existe.
Conclusión
Los enlaces no son equivalentes, estén o no enlazadas entre sí las dos circunferencias.
No pueden representar el mismo enlace.
La conexidad ya permite distinguirlos.
Los símbolos que hemos usado
- K:S¹↪S³
- Nudo suave, un encaje de una circunferencia en la esfera tridimensional.
- Enlace
- Encaje de una unión disjunta finita de circunferencias; cada una es una componente.
- Isotopía ambiente
- Familia continua o suave de difeomorfismos del ambiente, empezando en la identidad, que lleva un enlace al otro.
- E_K
- Exterior compacto S³\intν(K), donde ν(K)≅S¹×D² es un entorno tubular cerrado.
- G_K
- Grupo fundamental del complemento o del exterior del nudo; ambos tienen el mismo tipo homotópico.
- μ y λ
- Meridiano que bordea un disco normal al nudo y longitud preferida de enlace cero en el toro frontera.
- G_ab
- Abelianizado G/[G,G], que coincide con H₁ del espacio conexo por caminos.
- Pendiente pμ+qλ
- Clase primitiva del toro frontera, con mcd(p,q)=1 y considerada salvo signo, que especifica un relleno.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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