¿Cuál es el índice de diag(−2,−3,4)?
Cuenta autovalores negativos.
La matriz ya es diagonal y sus entradas son sus autovalores: −2,−3,4.
Ninguno es cero, por lo que la forma es no degenerada.
Hay dos autovalores negativos y el índice es 2; la dirección positiva restante impide que sea un máximo en dimensión tres.
Con 1 mínimo, 2 sillas de índice 1 y 1 máximo de índice 2, calcula la suma de Morse.
Alterna signos.
El resultado es 0. Bajo las hipótesis compactas de Morse coincide con la característica de Euler; el ejemplo del toro realiza ese conteo.
¿Cuál es el índice de un mínimo no degenerado en dimensión 3?
La Hessiana es definida positiva.
En un mínimo no degenerado, la Hessiana es definida positiva.
Sus tres autovalores son positivos; no hay direcciones cuadráticas negativas.
El índice, que cuenta únicamente las negativas, es 0. La dimensión tres no se usa como índice del mínimo.
Explica por qué x⁴ tiene un mínimo degenerado en 0.
Compara derivadas y valores.
Sin embargo x⁴≥0 y solo vale cero en x=0, así que el origen es un mínimo estricto. La no degeneración es hipótesis de la teoría local de Morse y no condición necesaria para cualquier mínimo.
Calcula el índice de −x²−y²+z² y describe el cambio de signo.
La Hessiana ya es diagonal.
Las derivadas primeras de −x²−y²+z² se anulan únicamente en el origen.
La Hessiana es diag(−2,−2,2), de determinante 8≠0, con dos autovalores negativos.
El índice es 2. Sobre el eje z la función es positiva fuera del origen y sobre los ejes x o y es negativa; por eso se trata de una silla, no de un máximo.