Teoría de Morse

Para una función suave f: M→R, un punto crítico p cumple df_p=0: ninguna dirección tangente produce variación de primer orden allí. En una carta esto significa que todas sus primeras derivadas parciales se anulan. El gradiente usa una métrica; la condición df_p=0 no depende de elegirla.

En un punto crítico, las segundas derivadas forman una forma bilineal simétrica intrínseca: la Hessiana. Al cambiar de coordenadas aparecen términos con primeras derivadas de f, pero justo allí se anulan. Por eso el signo de sus direcciones es un dato geométrico del punto crítico.

Un punto crítico es no degenerado si su Hessiana es invertible. Su índice λ es el número de autovalores negativos, contados con multiplicidad. La ley de inercia de Sylvester garantiza que ese número no cambia al usar otras coordenadas.

En dimensión n, índice cero significa mínimo local no degenerado; índice n, máximo; los índices intermedios corresponden a sillas. El determinante solo informa del producto de autovalores: un determinante positivo no distingue por sí solo mínimo de máximo en dimensión par.

Cerca de un punto crítico no degenerado de índice λ existen coordenadas u centradas en él en las que . Es una igualdad local exacta después del cambio de coordenadas, no solo una aproximación de Taylor.

Una función de Morse es aquella cuyos puntos críticos son todos no degenerados. Esos puntos son aislados. Si además M es compacta, hay un número finito: el conjunto crítico es cerrado y un conjunto de críticos aislados no puede acumularse dentro de él.

Un subnivel es ={x: f(x)≤a}.

Si la franja f⁻¹([a, b]) es compacta y no contiene puntos críticos, el campo satisface df(V)=1. Por tanto su flujo aumenta f a velocidad uno y transporta unos niveles a otros.

Con los extremos regulares y las condiciones usuales sin borde, esto da el teorema de ausencia de cambios entre niveles: los subniveles son difeomorfos tras ajustar el flujo y uno se retrae sobre el otro. La compacidad de la franja asegura la existencia del flujo durante el tiempo necesario; sin ella pueden aparecer cambios desde el infinito.

Supongamos una franja compacta con un único punto crítico no degenerado de índice λ, entre dos valores regulares. Al cruzarlo, el subnivel superior se obtiene, hasta el marco preciso de asas, añadiendo por . La pieza completa tiene dimensión n; su núcleo es la celda de dimensión λ que describe el cambio de homotopía.

Un asa de índice uno puede unir dos componentes o abrir un ciclo en una misma componente: depende de dónde se peguen sus extremos. El índice especifica el tipo de pieza, pero no todo el mapa de pegado.

En una variedad cerrada, elegimos una función de Morse y una métrica con condición Morse–Smale: las variedades estables e inestables del flujo negativo del gradiente se cortan transversalmente. En grado j, el grupo tiene un generador por cada crítico de índice j.

La frontera cuenta trayectorias de flujo entre críticos de índices consecutivos, identificando las que solo difieren por trasladar el tiempo. Sobre F₂ se cuentan módulo dos; sobre Z se necesitan orientaciones coherentes. El análisis de trayectorias rotas demuestra ∂²=0, y el teorema de homología de Morse identifica H_*(C,∂) con H_*(M).

Aquí enunciamos esos resultados globales y practicamos su álgebra.

Si cuenta críticos de índice j y es la dimensión de (M; K) sobre un cuerpo K, se cumple ≥. Las desigualdades fuertes se expresan mediante M(t)=∑ʲ y P(t)=∑ʲ: , donde Q tiene coeficientes no negativos.

La razón algebraica es que, si es el rango de ∂: →C_{j−1}, entonces =++r_{j+1}.

Al sustituir t=−1 se obtiene ∑(−1)ʲ=χ(M).

Una función perfecta sobre K cumple = en todos los grados; no toda función es perfecta.

Para la altura f(x, y, z)=z en S² unidad, los críticos son los polos. Cerca del sur, z=−√(1−x²−y²) tiene Hessiana +I en el origen; cerca del norte, +√(1−x²−y²) tiene Hessiana −I. Los índices son cero y dos.

En el toro abstracto T²=S¹×S¹ con ángulos θ, φ módulo 2π, usamos f=cos θ+2 cos φ. Las primeras derivadas son −sin θ y −2 sin φ. Las cuatro soluciones tienen θ, φ en {0, π}; la Hessiana diag(−cos θ,−2 cos φ) permite clasificarlas sin imaginar una superficie inclinada.

No degenerado es una condición más fuerte que ser máximo o mínimo. La función x⁴ tiene mínimo estricto en cero y segunda derivada cero; x³ también tiene derivada y segunda derivada cero allí, pero ni siquiera tiene un extremo. Una Hessiana singular deja la clasificación abierta.

Las fórmulas finitas anteriores se han enunciado para variedades cerradas. En variedades no compactas suelen pedirse condiciones como función propia, acotación inferior y control de críticos; con borde hay resultados adicionales sobre el comportamiento en él. Las perturbaciones genéricas producen funciones de Morse en el marco adecuado, pero no permiten ignorar condiciones fijadas ni el infinito.