Calcula la firma de diag(1,−1,−1,−1).
Cuenta signos.
La matriz diagonal tiene un autovalor positivo 1 y tres negativos −1.
La firma es σ=1−3=−2; su rango es cuatro y no debe confundirse con esa diferencia.
¿Cuál es la firma de CP² con orientación compleja?
Su forma es (1).
Con orientación compleja, la clase de una recta en CP² tiene auto-intersección +1.
La forma es la matriz de rango uno (1), positiva definida.
Hay una dirección positiva y ninguna negativa, por lo que σ(CP²)=1.
¿Qué firma tiene la orientación opuesta de una variedad de firma 4?
El signo se invierte.
Invertir orientación niega la clase fundamental y cada evaluación de Q.
Por ello las direcciones positivas y negativas intercambian sus papeles.
La firma cambia de signo: si antes era 4, después es −4.
Explica por qué rango y firma no determinan toda forma bilineal integral.
La paridad puede distinguir formas.
Sobre Z solo se permiten cambios de base de determinante ±1, que preservan propiedades de la red como paridad.
Las matrices H=[[0,1],[1,0]] y diag(1,−1) tienen ambas rango dos y firma cero.
Pero H(v,v)=2ab siempre es par, mientras la diagonal toma valor uno en (1,0). No son equivalentes integrales; rango y firma no distinguen esta diferencia.
Prueba que la forma hiperbólica es par.
Evalúa Q sobre un vector entero.
Para v=(a,b) con a,b enteros, multiplica H por v y obtienes (b,a).
Ese entero es par para todos los vectores enteros. Por definición, la forma hiperbólica es par; no basta mirar solo los autovalores reales para decidirlo.