Variedades de dimensión cuatro

Una 4-variedad topológica se describe localmente mediante abiertos de R⁴ con cambios de cartas continuos e invertibles. Para ser suave se exige además que esos cambios sean infinitamente diferenciables. La estructura suave permite definir tangentes, conexiones y ecuaciones diferenciales.

Un homeomorfismo respeta la estructura topológica; un difeomorfismo respeta la suave y tiene inversa suave. Hay variedades topológicas de dimensión cuatro sin suavidad y estructuras suaves distintas sobre un mismo tipo topológico. Indicaremos siempre cuándo suponemos variedad cerrada, orientada y simplemente conexa.

En una 4-variedad cerrada orientada M, tomamos H²(M; Z) módulo torsión. La forma es : multiplicamos dos clases de grado dos y evaluamos la clase de grado cuatro en la orientación de M.

La dualidad de Poincaré hace unimodular la matriz sobre la parte libre: su determinante es ±1.

La matriz no recoge por sí sola el grupo fundamental en el caso general.

En el caso suave, las clases de dimensión dos se representan por superficies orientadas. Para calcular una intersección se colocan representantes transversales y se suman los signos de sus puntos comunes. En dimensión cuatro, dos superficies tienen dimensiones complementarias: 2+2=4.

Para Q(a, a) no contamos todos los puntos de una superficie coincidiendo consigo misma. La desplazamos con una sección genérica de su fibrado normal y la intersectamos con la copia desplazada. La cuenta es la evaluación de la clase de Euler del normal.

Al extender Q a los reales, contamos autovalores positivos b₂⁺ y negativos b₂⁻.

Invertir orientación de M cambia Q a −Q, intercambia ambos recuentos y cambia el signo de σ.

Una equivalencia de redes enteras usa P con entradas enteras y determinante ±1, y transforma Q en PᵀQP. Conservar la firma real no basta para que exista tal P. La paridad —que Q(v, v) sea par para todo v entero— también se conserva.

En CP² con orientación compleja, dos rectas proyectivas genéricas se cortan en un punto positivo. Su forma es [1], rango uno y firma uno. Al invertir orientación se obtiene [−1].

En S²×S², las clases de los dos factores tienen auto-intersección cero y se cortan una vez positivamente.

Sus autovalores son uno y menos uno: firma cero. Su cuadrado 2ab es siempre par.

Para suma conexa orientada, .

Las clases se separan en los dos sumandos y no aparecen intersecciones cruzadas.

CP²#(−CP²) tiene forma diag(1,−1). Comparte rango dos y firma cero con S²×S², pero es impar. La hiperbólica es par. No son isométricas sobre Z y esas variedades no pueden ser homeomorfas: la forma detecta una diferencia que rango y firma olvidaron.

El teorema de Freedman clasifica las 4-variedades topológicas cerradas, orientadas y simplemente conexas mediante la forma integral unimodular y el invariante Kirby–Siebenmann ks en Z/2. Formas isométricas y el mismo ks dan homeomorfismo que preserva orientación.

Toda forma simétrica unimodular entera se realiza en ese marco. Para una forma par, ks queda fijado por σ/8 módulo dos; para una impar pueden realizarse los dos valores. Es un teorema profundo de realización y clasificación topológica: ni diagonalizar una matriz lo demuestra ni el resultado promete un difeomorfismo.

Donaldson: si una 4-variedad es suave, cerrada, orientada y simplemente conexa, y su forma es definida, esa forma es integralmente +I o −I. No se aplica esa conclusión a las formas indefinidas. E₈ es par y definida; no es +I, que es impar, por lo que su realización topológica no es suavizable.

Rokhlin: una 4-variedad suave cerrada spin tiene firma divisible por dieciséis. En el caso simplemente conexo, spin equivale a forma par. Una K3 tiene forma 3H⊕2(−E₈), rango veintidós y firma menos dieciséis; es indefinida y no viola Donaldson. Las condiciones necesarias de estos teoremas no son criterios universales suficientes de existencia suave.

Una estructura suave exótica produce una variedad homeomorfa al modelo pero no difeomorfa a él. Los invariantes gauge pueden detectar diferencias suaves que la forma de intersección y ks no ven.

Incluso R⁴ tiene estructuras suaves exóticas. Son ejemplos abiertos: no pertenecen a la clasificación cerrada simplemente conexa anterior. Para una variedad concreta distinguimos categoría, orientación, grupo fundamental y forma integral antes de usar cualquier teorema. La firma de una matriz es un cálculo completo de esa firma, no una clasificación completa de la variedad.