Invariantes mediante teorías gauge

Con una métrica riemanniana y una orientación, el operador de Hodge * envía formas de grado j a grado m−j. Su cuadrado es (−1)ʲ⁽ᵐ⁻ʲ⁾. Si m=4 y j=2, el destino vuelve a ser grado dos y el signo es +1: *²=I.

Podemos separar cualquier dos forma en y . La primera queda fija por estrella, y la segunda cambia de signo.

Las combinaciones e¹²+e³⁴, e¹³−e²⁴ y e¹⁴+e²³ forman una base autodual; las combinaciones opuestas son anti-autoduales.

Hay seis direcciones de dos formas en cada punto, separadas en tres y tres. Esto no dice b₂⁺=b₂⁻=3: los Betti cuentan clases armónicas globales. Invertir orientación cambia * por −* sobre dos formas e intercambia ambos espacios. Un cambio conforme g′=e²ᶠg mantiene * en ese grado porque el factor e⁽⁴⁻²·²⁾ᶠ es uno.

Fijamos una variedad riemanniana orientada de dimensión cuatro y un fibrado principal P, por ejemplo con grupo SU(2). Una conexión A tiene curvatura , una dos forma con valores en el álgebra del fibrado.

La ecuación anti-autodual es ⁺=0, equivalente a *=−.

Con cambio local de referencia derecho u usamos Aᵘ=u⁻¹Au+u⁻¹du y F_{Aᵘ}=u⁻¹. Estrella actúa en la parte de formas y la conjugación en la matricial: la ecuación se conserva. El módulo es el conjunto de soluciones dividido por el grupo gauge. Un estabilizador mayor que el centro indica una conexión reducible y puede producir singularidades en el cociente.

En su(2) elegimos el producto positivo −tr(XY).

Definimos YM(A)=‖‖², sin factor un medio.

Las partes son ortogonales, así que YM=‖⁺‖²+‖⁻‖². En una variedad cerrada, Chern–Weil da , con k=c₂(P)[M].

Por tanto .

Para k≥0, una solución ASD alcanza la cota 8π²k. Si k<0 no puede haber solución ASD con estas convenciones. La existencia de una solución no se deduce de escribir la cota.

Para una variación pequeña a, la parte de primer orden de F_{A+a}⁺ es ⁺+⁺a. Una transformación gauge infinitesimal produce una dirección ξ. En una solución ASD, la composición ⁺ es cero porque es el corchete con ⁺.

Añadimos la condición local para fijar gauge.

El operador es elíptico.

Su índice es dimensión de núcleo menos dimensión de cokernel.

Para SU(2), .

Solo con irreducibilidad y ausencia de obstrucciones da directamente la dimensión de un módulo local suave.

Una sucesión de conexiones puede concentrar curvatura en puntos cada vez más pequeños. La compactificación de Uhlenbeck incorpora límites con conexión de carga menor y puntos que registran la energía concentrada. Este fenómeno se llama burbujeo.

Para obtener números también hay que controlar reducibles, lograr regularidad con perturbaciones permitidas y orientar los módulos. Interviene una orientación homológica de H¹(M; R)⊕H²_+(M; R). Compacidad, regularidad y orientación resuelven problemas distintos: ninguna se obtiene simplemente de que el índice sea cero.

No siempre se cuenta el módulo completo como una colección de puntos. Del fibrado universal se obtienen clases cohomológicas sobre el espacio de conexiones módulo gauge. En el marco habitual, las inserciones de superficies tienen grado dos y las de puntos grado cuatro.

Se toman productos con grado total igual a la dimensión esperada y se evalúan con el tratamiento necesario de compactificación y estratos. La independencia de métrica se demuestra estudiando familias. Con b₂⁺>1 se evitan paredes de reducibles en las construcciones estándar bajo sus demás hipótesis; con b₂⁺=1 puede haber dependencia de cámara.

Elegimos una estructura Spinᶜ, con fibrados de espinores W⁺, W⁻ y línea determinante L. Buscamos una conexión unitaria A en L y una sección ψ de W⁺. Una normalización escribe ψ=0 y ⁺=q(ψ)+iη, donde η es una dos forma real autodual fijada y q es la aplicación cuadrática de Clifford a formas imaginarias autoduales.

Se toma el cociente por gauge, que actúa sobre ambas incógnitas; al actuar sobre la línea determinante aparece el peso doble del de los espinores.

La dimensión esperada es .

L no es arbitraria: c₁(L) reduce a w₂(TM) módulo dos. El cuadrado se evalúa con la forma de intersección.

En el marco cerrado, las estimaciones de Weitzenböck y el control gauge proporcionan compacidad para los módulos de Seiberg–Witten perturbados. Si la dimensión esperada es cero, hay regularidad y no quedan reducibles, el módulo compacto es finito y podemos sumar signos.

Para b₂⁺>1, las construcciones estándar dan invariancia bajo cambios genéricos de métrica y perturbación con las demás condiciones y orientaciones fijadas. En dimensión positiva se evalúan clases. Estos invariantes pueden distinguir suavidades con la misma forma; no se afirma que toda cuenta sea no nula ni que Donaldson y Seiberg–Witten coincidan sin hipótesis.

Escribir P₊=(I+*)/2 y P₋=(I−*)/2 permite demostrar sus propiedades usando solo *²=I. Son proyecciones complementarias y sus imágenes son precisamente las formas autoduales y anti-autoduales.

Ese cálculo prepara las ecuaciones, pero no prueba existencia de conexiones, regularidad ni compacidad. La teoría combina álgebra lineal, topología del fibrado y análisis elíptico del espacio de soluciones. Conservaremos esa separación cada vez que una fórmula numérica parezca prometer más de lo que demuestra.