¿Cuál es la menor dimensión compleja a la que se aplica este Hartogs?
Debe haber varias variables.
El enunciado de extensión compacto exige dimensión compleja n≥2.
Las dimensiones posibles son enteros positivos.
El menor entero que satisface la hipótesis es 2.
¿Cuántas variables complejas tiene C³?
Lee el exponente.
Un punto de C³ se escribe (z₁,z₂,z₃).
Cada coordenada es una variable compleja independiente.
Por tanto hay tres variables y la dimensión compleja es 3; su dimensión real sería 6.
¿Se extiende toda función holomorfa de un disco perforado en C por Hartogs? Responde sí/no.
1/z es un contraejemplo.
Un disco perforado está en C y tiene dimensión compleja uno.
La función 1/z es holomorfa allí pero no tiene extensión holomorfa al origen.
Por ese contraejemplo, no se extiende toda función y la respuesta es no.
Justifica la unicidad de la extensión en un dominio conexo.
Resta dos supuestas extensiones.
Sean F y G dos extensiones holomorfas en el dominio conexo Ω.
F−G es holomorfa y se anula en el abierto no vacío Ω\K, porque ambas coinciden con el dato original.
Concluimos F=G; no se necesita asignar previamente un valor en los puntos de K.
Explica por qué compactitud de K dentro de Ω no equivale a que K sea cerrado en Cⁿ.
También debe permanecer lejos de la frontera y ser acotado.
K⊂⊂Ω exige simultáneamente que K sea compacto y que esté contenido en Ω.
En Cⁿ, un conjunto cerrado es compacto solo si además es acotado; por ejemplo una recta completa es cerrada y no compacta.
Aunque un cerrado acotado sea compacto, no sirve si incluye puntos de la frontera de Ω.
Si K es compacto y está dentro de Ω, su distancia a la frontera es positiva; esa separación interior es la que permite usar el teorema.