Dominios de holomorfía y fenómeno de Hartogs

Holomorfía conjunta significa una serie de potencias local en z y w: no se permiten términos en sus conjugados. En Cⁿ se hace lo mismo con todas las variables. Las fórmulas de Cauchy usan productos de círculos.

Hay dos resultados llamados Hartogs que conviene separar. La holomorfía por separado en cada variable implica holomorfía conjunta, sin añadir continuidad como hipótesis. El resultado de extensión trata regiones retiradas del dominio. Nuestra lección se centra en este segundo fenómeno.

Un dominio es un abierto conexo. Llamarlo de holomorfía no significa que ninguna función se extienda: las constantes siempre lo hacen. Significa que no existe una región exterior de prolongación común a todas las funciones holomorfas del dominio.

Precisamente, se excluyen dominios U, V con U no vacío contenido en Ω∩V y V no contenido en Ω, tales que cada f∈O(Ω) admita en V una holomorfa que coincida con f en U. El mismo abierto de coincidencia U es parte de los datos. En dominios de Cⁿ, equivale a ser dominio de existencia de alguna función holomorfa no prolongable en ese sentido.

Si Ω∖K es conexo, cada función holomorfa escalar en Ω∖K se extiende de forma única a una holomorfa en Ω. No se añade una cota de la función cerca de K.

La unicidad viene del principio de identidad: dos extensiones coinciden en el abierto de partida y, al restarlas, son una holomorfa nula allí en un dominio conexo. En particular, un punto aislado se puede rellenar en dimensión compleja al menos dos. Es un teorema de funciones escalares; no se aplica sin revisión a cualquier espacio de llegada.

En C² fijamos 0<ε, r<1 y . En el cilindro central |z|<ε se dispone de todos los w del disco. La pared anular r<|w|<1 está disponible para todos los z. Para r<ρ<1, definimos .

Cada coeficiente es holomorfo en z. Si k<0, se anula cuando |z|<ε porque allí f es holomorfa también en w=0 y se aplica Cauchy. Por identidad en z se anula en todo D. La serie de Laurent solo tiene potencias no negativas; las estimaciones de Cauchy dan convergencia uniforme en compactos del bidisco y una extensión.

Este mecanismo local no es por sí solo toda la prueba del teorema compacto general.

En dimensión uno, el disco perforado permite 1/z, que no se extiende a cero. La condición compacta interior también es precisa: ser cerrado relativo a Ω no basta, ni ser cerrado en Cⁿ garantiza por sí solo acotación o inclusión en Ω.

La conexidad del complemento impide imponer valores incompatibles en componentes distintas. Si quitamos la esfera real de radio uno dentro de una bola de radio dos en C², el complemento tiene un interior y un exterior. Podemos asignar una constante distinta a cada uno; eso es holomorfo en el complemento, pero no se pega a una única función de la bola.

Dentro de una bola esa hipersuperficie alcanza el borde: su parte retirada no es un compacto contenido en el interior de la bola.

Un germen holomorfo escalar no constante que se anula en n≥2 no puede tener como conjunto de ceros solo un punto aislado. Por eso no se obtiene un único polo aislado tomando 1/g con tal denominador. Existen extensiones a través de conjuntos analíticos de codimensión al menos dos en variedades complejas suaves; en espacios singulares hay que revisar condiciones, como normalidad.

La envolvente de un compacto K en Ω es . El dominio es holomórficamente convexo si esa envolvente es compacta para cada K. Cartan–Thullen lo identifica, en dominios de Cⁿ, con ser dominio de holomorfía.

En una bola perforada de C² tomamos K como una esfera pequeña completa alrededor del origen. Cada función se extiende a la bola; el máximo controla el interior de la esfera. La envolvente contiene puntos que se acercan al centro eliminado. Esa sucesión no tiene límite dentro de Ω: la envolvente no es compacta allí.

Para a en la esfera unidad, es holomorfa dentro de la bola por Cauchy–Schwarz: el módulo de la suma es menor que uno. Al llegar radialmente a a, el denominador se anula. Esta familia impide una prolongación común a través del borde.

Los polidiscos tienen barreras coordenada a coordenada. El problema de Levi da otro criterio general: dominio de holomorfía equivale a pseudoconvexidad, expresable mediante un agotamiento continuo plurisubarmónico. Es un teorema que une geometría y funciones; una Hessiana calculada en un caso no demuestra esa equivalencia general.

La topología ordinaria no basta: una bola perforada en C² es simplemente conexa y aun así no es dominio de holomorfía. Se retrae a una esfera de dimensión real tres; eso no hace que el punto sea visible para las funciones holomorfas.

La envolvente de holomorfía reúne prolongaciones comunes máximas. En general puede ser un dominio de Riemann sobre Cⁿ, con hojas, y no solo un abierto mayor del mismo espacio. Nuestra figura de Hartogs y la bola perforada tienen rellenos concretos sencillos, pero no convierten toda prolongación en un dibujo de rellenar agujeros.