¿Cuál es dim_C C{z}/(z³)?
Conserva grados 0,1,2.
Todo germen se escribe a₀+a₁z+a₂z²+z³g(z).
En el cociente por (z³), el último término desaparece, así que 1,z,z² generan.
Un polinomio de grado menor que tres solo es múltiplo de z³ si todos sus coeficientes son cero; son independientes.
La dimensión vectorial es 3, distinta de la dimensión geométrica cero.
¿Cuántas ramas tiene xy=0 en C²?
Factoriza la ecuación.
Cada eje es una curva suave irreducible y ninguno contiene al otro.
Hay dos ramas locales en el origen.
En C{z}/(z²), ¿cuánto vale z²?
Es la relación del cociente.
El cociente identifica con cero todos los múltiplos de z².
En particular z² pertenece al ideal (z²).
Su clase vale 0, aunque la clase de z sea no nula.
Distingue espacio reducido y no reducido mediante este ejemplo.
Busca nilpotentes.
C{z}/(z)≅C tiene solo el elemento cero como nilpotente.
El primero es reducido y el segundo no reducido; ambos tienen un único punto subyacente.
La diferencia vive en el haz y en su anillo, no en una lista de puntos.
Calcula la dimensión del tangente de xy=0 en el origen.
La ecuación no tiene término lineal.
Su cuadrado contiene todas las expresiones de grado al menos dos, incluida la relación xy.
No hay ecuación lineal entre [x] y [y], por lo que sus clases forman una base de m/m².
El tangente, su dual, tiene dimensión compleja 2, superior a la dimensión local 1; el origen es singular.