Las ecuaciones z=0 y z²=0 se dibujan como el mismo punto. Sin embargo, al hacer cuentas con funciones, la segunda conserva información adicional. Un espacio analítico recuerda tanto dónde están los ceros como qué relaciones cumplen sus funciones. Empezaremos reduciendo expresiones y luego usaremos esas cuentas para entender dimensión, tangentes y ramas.
Si necesitas repasar:
1. El modelo local tiene un conjunto de puntos y un anillo de funciones
En un abierto U⊂Cᴺ, un haz coherente de ideales J está dado localmente por finitísimas ecuaciones holomorfas. Su conjunto de ceros es el soporte |X|. El haz 
=(
/J) restringido a ese soporte recuerda las relaciones entre gérmenes, no solo sus valores.
Un espacio analítico complejo se construye pegando esos modelos como espacios anillados locales, con las condiciones topológicas usuales. Aquí incluimos modelos no reducidos. Algunos textos llaman espacios complejos solo a los reducidos y reservan «esquema analítico» para los generales; declaramos la convención porque los nilpotentes serán esenciales.
Una ecuación elimina una coordenada
En C², imponer w=0.
Puntos
Queda la recta compleja {(z,0)}.
Funciones
En el cociente toda aparición de w se hace cero.
Anillo local
C{z, w}/(w) se identifica con C{z}.
Es una curva suave con una coordenada compleja libre.
Las llaves indican series convergentes cerca del punto.
Una unidad no cambia el ideal local
Comparar w=0 y eʷ−1=0 cerca del origen.
Factorizar
eʷ−1=w·u(w), con u(w)=1+w/2+….Unidad
u(0)=1, por lo que u es invertible como germen.Ideal
(eʷ−1)=(w) cerca de cero: definen el mismo modelo local.
La afirmación es local, no sobre todos los ceros de eʷ−1 en el plano.
Los otros ceros 2πik no forman parte del germen en cero.
2. El punto doble conserva una derivada aunque solo tenga un punto
Taylor reduce cualquier germen a f(0)+f′(0)ε. El punto simple C{z}/(z) solo conserva f(0). Los valores escalares en el soporte no distinguen toda la información del punto doble.
Un elemento no nulo cuya potencia es cero se llama nilpotente. Un espacio es reducido si sus anillos locales no tienen tales elementos. Reducir el punto doble elimina ε. En un modelo local, reducción equivale a sustituir el ideal por su radical. Reducido no significa por sí solo suave ni de una sola rama.
Reducir una expresión
f(z)=5−2z+7z², módulo z².
Relación
z²=0 en el cociente.Eliminar
El término 7z² desaparece.
Resto
La clase es 5−2ε; conserva el valor cinco y la derivada −2.
La clase de z sigue siendo distinta de cero.
No se ha sustituido z=0 antes de guardar la información de primer orden.
Multiplicar dos clases
(2+3ε)(4−ε).
Expandir
8−2ε+12ε−3ε².
Relación
El último término es cero.
Agrupar
El producto es 8+10ε.
El anillo tiene operaciones que un dibujo de un único punto no muestra.
La base vectorial es uno, ε; no son dos puntos distintos.
3. Un germen convergente no es una serie formal arbitraria
Un germen identifica funciones que coinciden cerca del punto, sin exigir que existan en todo el abierto original. C{z₁,…, 
} exige convergencia en alguna vecindad. C[[z₁,…, ]] permite también series sin radio de convergencia positivo.
Si un germen es de orden finito d en la variable w, preparación de Weierstrass lo escribe como unidad por un polinomio mónico en w de grado d, con coeficientes holomorfos en las otras variables que se anulan en cero. La división deja resto de grado en w menor que d.
Esta teoría lleva a noetherianidad; la coherencia de Oka añade control de relaciones en vecindades, no solo finitud de un tallo.
Una serie formal que no define un germen holomorfo
Σ desde m=0 de m! zᵐ.
Cociente de términos
Para z≠0, el cociente de módulos sucesivos es (m+1)|z|.Límite
Crece sin cota y finalmente es mayor que uno.
Convergencia
Los términos no tienden a cero: el radio de convergencia es cero.
Es formal, pero no pertenece a C{z}.
Tener coeficientes bien definidos no basta para ser una función holomorfa cerca de cero.
Preparar y luego dividir en la variable elegida
f(z, w)=e elevado a z+w por (w²−z).
Unidad
e elevado a z+w no se anula cerca del origen.
Polinomio preparado
P=w²−z es mónico de grado dos en w y su coeficiente −z se anula en cero.
División
w³=w(w²−z)+zw: el resto zw tiene grado uno en w, menor que dos.
La variable de división importa: el resto puede seguir dependiendo de z.
La cuenta comprueba dividendo igual a divisor por cociente más resto, como en una división elemental.
4. Dimensión geométrica y longitud vectorial responden a preguntas diferentes
La dimensión compleja local es la dimensión de Krull del anillo local: cuenta cadenas estrictas de ideales primos. Una curva suave tiene dimensión uno. Un espacio soportado en un único punto tiene dimensión cero, incluso si conserva nilpotentes.
En cambio, la longitud vectorial de C{z}/(zᵏ) es k, con base de potencias desde cero hasta k−1. Los nilpotentes no cambian los ideales primos y por eso no cambian la dimensión geométrica. En dimensión positiva suelen aparecer anillos de dimensión vectorial infinita; la multiplicidad usa entonces otras medidas algebraicas.
| Modelo | Dimensión local | Longitud sobre C |
|---|---|---|
| Punto simple | 0 | 1 |
| Punto doble | 0 | 2 |
| Recta suave | 1 | Infinita |
| Cruz xy=0 | 1 | Infinita |
Un punto triple no tiene dimensión geométrica tres
A=C{z}/(z³).
Base
Las clases uno, z y z² son independientes y generan A sobre C.
Longitud
La dimensión vectorial es tres.
Geometría
El único punto de soporte es cero y la dimensión local es cero.
Longitud tres y dimensión local cero son compatibles.
La reducción es el punto simple.
Una recta tiene dimensión uno pero infinitas funciones independientes
A=C{t}.
Dimensión local
La cadena (0) contenida estrictamente en (t) tiene longitud uno, la dimensión de este anillo local regular.
Vectores
Uno, t, t²,… son linealmente independientes en cualquier lista finita.
Comparar
La dimensión vectorial sobre C es infinita, aunque la curva tenga dimensión compleja uno.
No se cuenta la dimensión geométrica contando monomios.
En espacios de dimensión cero y longitud finita sí era útil esa base finita.
5. El tangente de Zariski conserva las restricciones lineales de las ecuaciones
Si 
es el ideal maximal del punto, 
. En coordenadas centradas en p, son los vectores v que anulan df(p)(v) para todas las ecuaciones del ideal. Su dimensión es la dimensión de inmersión local mínima.
La dimensión tangente es al menos la dimensión local. La igualdad caracteriza regularidad del anillo local y, en este contexto complejo, suavidad de la variedad cerca del punto. Si r ecuaciones tienen diferenciales independientes, función implícita da codimensión r. Contar ecuaciones sin calcular su rango puede fallar.
La parábola sí tiene un tangente de la dimensión esperada
y−x²=0 en el origen de C².
Linealizar
d(y−x²) en cero es dy.
Restricción
=0: queda libre 
.Dimensiones
El tangente tiene dimensión uno y la curva también uno; es suave allí.
La derivada respecto de y es uno y permite resolver y=x².
Los términos de orden dos no cambian la ecuación tangente en el origen.
El punto doble falla la misma comparación
z²=0 en C.
Ecuación lineal
La derivada 2z es cero en el origen: no impone restricción a v.
Tangente
Tiene dimensión uno; también m/m² está generado por ε.
Local
La dimensión local era cero, así que no es regular.
La información nilpotente también se detecta con el tangente.
No basta ver un soporte de un solo punto para concluir suavidad.
6. Reducido puede tener divisores de cero y varias ramas
La cruz xy=0 une los dos ejes complejos. En A=C{x, y}/(xy), las clases de x e y son no nulas y su producto es cero. Eso impide que A sea un dominio. Los ideales primos mínimos (x) y (y) corresponden a sus dos ramas.
Sin embargo A es reducido. Puede verse restringiendo a los dos ejes: se incluye en C{x}×C{y}, como pares con igual valor constante. Si una potencia de una clase se anula, se anula en ambos anillos de funciones y la clase es cero. Ser divisor de cero no es lo mismo que ser nilpotente.
Encontrar dos divisores de cero
En A, usar [x] y [y].
No nulos
x no es cero sobre el eje x, y no es cero sobre el eje y.
Producto
La relación del cociente impone [x][y]=[xy]=0.Anillo
Dos no nulos multiplican a cero: A no es dominio.
La factorización geométrica se refleja en las operaciones.
No se ha mostrado que una potencia de x sola sea cero: de hecho no lo es.
La cruz es suave lejos del cruce
En p=(1,0).
Unidad
x no se anula cerca de p y es invertible como germen.
Ecuación
xy=0 equivale entonces a y=0.Local
Queda una recta suave con coordenada x−1.
La singularidad está en el origen, donde ninguna de esas dos coordenadas es una unidad.
Cada rama es suave por separado, pero su unión no lo es en el cruce.
7. Una sola rama puede ser singular: la cúspide
La curva y²=x³ es reducida e irreducible cerca del origen.
Tiene una rama compleja, no dos, aunque su traza real muestre dos mitades.
En el origen, las derivadas de y²−x³ son cero: el tangente tiene dimensión dos frente a dimensión local uno. El elemento t no está en C{t², t³}, porque no puede aparecer una potencia lineal t. Pero es integral sobre ese anillo: satisface T²−x=0. La normalización incorpora esa función que faltaba.
Comprobar la singularidad
F(x, y)=y²−x³.
Derivadas
=−3x² y 
=2y.En cero
Ambas se anulan, así que el tangente de Zariski es todo C².
Comparar
La curva tiene dimensión uno; tangente de dimensión dos significa singularidad.
Irreducible no implica suave.
La parametrización permite ver la dimensión sin contar dos mitades reales como componentes.
Comprobar la parametrización y lo que añade
x=t², y=t³.
Ecuación
y²=t⁶=x³ para todo t.Valores reales
t=−1 y t=1 dan (1,−1) y (1,1), dos puntos de la misma rama compleja.
Función faltante
t satisface una ecuación mónica sobre el anillo, pero no es una serie de potencias de t² y t³.
Normalizar introduce t y produce una curva suave parametrizada por C.
Que esa operación suavice esta curva no implica que elimine toda singularidad en dimensiones mayores.
8. Normalizar y definir un morfismo exige recordar los anillos
Un espacio reducido es normal cuando sus anillos locales son dominios integralmente cerrados. La normalización es un morfismo finito desde un espacio normal, isomorfo sobre la parte normal, que incorpora funciones integrales. Puede separar ramas o corregir una sola rama; no es simplemente borrar nilpotentes.
Un morfismo analítico tiene una aplicación de puntos y un pullback compatible de funciones en sus haces, local en los anillos. Los nilpotentes muestran por qué la aplicación de puntos no basta. La reducción, la normalización y una resolución de singularidades son operaciones diferentes.
Normalizar la cruz y la cúspide da efectos distintos
Comparar los dos ejemplos anteriores.
Cruz
La normalización tiene dos líneas separadas; sobre el origen hay dos puntos, uno por rama.
Cúspide
Hay una sola línea del parámetro t y un solo punto sobre el origen.
Comparar
La primera separa ramas; la segunda corrige el anillo de una rama.
No se deduce el número de ramas contando el tamaño del tangente.
Ambas tenían tangente de dimensión dos en el origen.
Dos morfismos con la misma imagen puntual
Del punto doble a C, enviar la coordenada w a ε o a 2ε.
Puntos
En ambos casos la imagen del único punto es w=0.
Funciones
El pullback de eʷ es 1+ε en el primero y 1+2ε en el segundo.
Distinguir
Son morfismos distintos porque sus aplicaciones de anillos difieren.
El dato de primer orden sobrevive aunque la imagen de puntos sea igual.
Las potencias superiores desaparecen porque ε²=0.
9. Suavidad densa es una afirmación para el espacio reducido
En un espacio analítico reducido, la parte suave es abierta y densa en cada componente irreducible y el conjunto singular es analítico. Un engrosamiento no reducido puede tener el mismo soporte que una variedad suave sin tener puntos regulares.
Estos espacios permiten conservar multiplicidades en intersecciones, familias y deformaciones. Los haces coherentes conectan sus cuentas locales con los teoremas globales de Stein. Para desingularización y familias hace falta más teoría; no se intercambian sin condiciones reducción, normalización y resolución.
La parte suave de la cruz es densa
xy=0.
Fuera del origen
Cada punto está en una sola rama y es suave.
En cada rama
Los puntos distintos del origen se acercan a todos sus puntos, incluido el origen.
Densidad
La parte suave es abierta y densa en ambas componentes.
El cruce es una singularidad reducida localizada.
La afirmación no está diciendo que el origen también sea suave.
Una línea doble no tiene puntos regulares
En C², imponer y²=0.
Soporte
El conjunto de puntos es la línea y=0, de dimensión uno.En cualquier punto
La ecuación no tiene parte lineal en y; el tangente tiene dimensión dos.
Comparar
Dos es mayor que uno en todos los puntos: el engrosamiento no es regular en ninguno.
Su reducción y=0 sí es una línea suave.
Una foto del conjunto de ceros no distinguiría las dos estructuras.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un punto doble
Describe C{z}/(z²) como espacio vectorial sobre C.
Cociente
En C{z}/(z²) se impone z²=0.Serie
Todo germen f tiene expansión f(0)+f′(0)z+z²h(z).
Reducir
La clase del último término es cero.
Generar
Toda clase es a+b[z], así que uno y [z] generan.
Independencia
Si a+bz está en (z²), su valor y primera derivada en cero son cero: a=b=0.
Resultado
La dimensión vectorial es dos, con base uno, [z]. La clase [z] no es cero pero su cuadrado sí.
Tiene dimensión 2 con base 1,z.
z≠0 pero z²=0.
EJEMPLO RESUELTO 2
Dos ramas
Explica por qué C{x,y}/(xy) no es un dominio.
Anillo
A=C{x, y}/(xy).Primer elemento
[x] no es cero porque x no pertenece al ideal (xy).
Segundo elemento
[y] tampoco es cero.
Multiplicar
[x][y]=[xy]=0 por la relación.Conclusión
A tiene divisores de cero y no es un dominio.
Geometría
El soporte tiene los dos ejes como ramas. Aun así es reducido: no se confunden divisores de cero con nilpotentes.
No es un dominio.
Geométricamente las ecuaciones describen dos ejes que se cruzan.
Los símbolos que hemos usado
- C{z₁,…,z_N}
- Anillo de gérmenes en cero de series de potencias complejas convergentes, distinto del anillo de series formales.
- (X,O_X)
- Espacio localmente anillado: conjunto topológico junto con su haz de anillos locales de funciones analíticas.
- I o I
- Ideal de gérmenes en un modelo local, o haz coherente de ideales en un abierto ambiente, según el contexto.
- O_X,p
- Anillo local del espacio en p; en un modelo es O_Cᴺ,p/I_p.
- mₚ
- Ideal maximal de gérmenes cuyo valor escalar en p es cero; el cuerpo residual es C.
- TₚX=(mₚ/mₚ²)*
- Tangente de Zariski complejo, dual del espacio de términos lineales intrínsecos.
- Nilpotente
- Elemento a con aᵏ=0 para algún k≥1; puede ser no nulo.
- X_red
- Reducción: mismo conjunto subyacente y haz cocientado por todos los nilpotentes.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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