En una carta local de una variedad compleja tenemos coordenadas, pero quizá no se puedan usar en todo el espacio. Las variedades de Stein tienen suficientes funciones globales para distinguir puntos y resolver muchos problemas de pegado. Empezaremos haciendo esa distinción en ejemplos pequeños y después precisaremos qué garantizan los teoremas A y B.
Si necesitas repasar:
1. Una coordenada local no es automáticamente una función global
Una variedad compleja se describe por cartas con cambios holomorfos. Una función de una carta puede dejar de tener sentido al salir de ella. En cambio, una función de O(X) está definida holomórficamente en todo X. Separar dos puntos significa encontrar una de esas funciones con valores distintos en ellos.
En una variedad compleja compacta conexa, las funciones holomorfas globales son constantes por el principio del máximo. Por tanto no pueden separar dos puntos distintos. Stein se sitúa en el extremo de abundancia de funciones globales. La comparación con variedades afines es estructural; no exige ecuaciones polinómicas para todos los ejemplos.
Una función global separa puntos de C
a=−1 y b=2.
Elegir
f(z)=z está definida holomórficamente en todo C.Evaluar
f(a)=−1 y f(b)=2.Comparar
Los valores son diferentes: f separa a y b.
No hace falta construir una función distinta para cada pareja en este ejemplo.
Las coordenadas ambiente son una fuente de funciones globales.
Una carta de la esfera de Riemann no es global
En P¹, la coordenada z de la carta afín.
Carta
z está definida fuera del punto del infinito.
Problema
No es una función holomorfa escalar global sobre toda P¹.
Compactitud
Las funciones escalares globales de P¹ son constantes, así que no separan cero e infinito.
P¹ no es Stein.
Que tenga coordenadas locales no contradice la falta de funciones globales separadoras.
2. Tres condiciones muestran qué información aporta la palabra Stein
Una definición clásica para una variedad compleja X de dimensión n pide: funciones globales que separen puntos; en cada punto, n funciones globales con diferenciales independientes que den coordenadas locales; y convexidad holomorfa. Se asumen las condiciones topológicas usuales de una variedad, como Hausdorff y base numerable.
La envolvente de K usa 
. Convexidad holomorfa significa que es compacta para cada compacto K. Es cerrada en X, pero eso no basta si puede escaparse del espacio. Hay definiciones equivalentes más cortas, a costa de teoremas que recuperan los otros requisitos.
Separación y coordenadas en C dos
Usar f₁=z₁ y f₂=z₂.
Puntos
Dos puntos distintos difieren en al menos una de las dos coordenadas.
Diferenciales
La matriz de derivadas de (f₁, f₂) es la identidad.
Local
Tiene rango dos en todos los puntos y da las coordenadas globales habituales.
Las dos primeras propiedades se verifican directamente.
Todavía falta controlar las envolventes compactas.
Compactitud de la envolvente en C dos
K compacto con |z₁|≤2 y |z₂|≤3 sobre K.
Aplicar coordenadas
Todo punto de la envolvente cumple esas mismas dos desigualdades.
Acotar
Queda dentro del producto de dos discos cerrados de radios dos y tres.
Cerrar
La envolvente es cerrada en C² y está acotada: es compacta.
C² cumple también convexidad holomorfa y es Stein.
La misma cuenta en un abierto perforado no garantiza que el cierre permanezca dentro de ese abierto.
3. Estar cerrado en un espacio ambiente preserva la compactitud necesaria
Las coordenadas ambiente separan sus puntos; combinaciones apropiadas tienen diferenciales independientes sobre cada tangente. La envolvente en Y queda contenida en la envolvente ambiente intersectada con Y, y es cerrada: la clausura de Y conserva la compactitud.
No se puede eliminar «cerrada» de esa afirmación. Un abierto de una variedad de Stein no es automáticamente Stein en dimensión mayor que uno. Las funciones pueden extenderse a una región que el abierto ha eliminado, dejando fallar la convexidad holomorfa.
Una gráfica que no usa un polinomio
Y={(z, eᶻ): z∈C}⊂C².
Subvariedad
La ecuación w−eᶻ=0 tiene derivada en w igual a uno.Cerrada
Es el conjunto de ceros de una función holomorfa continua en todo C².
Coordenada
La primera coordenada identifica Y con C y separa sus puntos.
La gráfica es Stein; no se exige que su ecuación sea polinómica.
Su parametrización es propia porque una cota ambiente controla en particular la primera coordenada.
Un abierto que pierde la propiedad
X=C²∖{0}.
Ambiente
C² es Stein y X es un abierto suyo.
Hartogs
Todas las funciones de X se extienden a través del origen.
Envolvente
Una esfera compacta tiene envolvente que contiene puntos acercándose al origen ausente; no es compacta en X.
Este abierto no es Stein.
La razón concreta es la convexidad holomorfa, no simplemente tener un agujero.
4. Un agotamiento estrictamente PSH caracteriza Stein; uno débil puede no bastar
El criterio de Grauert afirma que X es Stein si y solo si admite un agotamiento suave estrictamente plurisubarmónico. Sus subniveles cerrados son compactos y su Levi es positiva en todas las direcciones complejas interiores. Una PSH con direcciones nulas puede no dar suficiente información en una variedad general.
Un teorema de embedding permite realizar una variedad de Stein mediante una aplicación holomorfa propia e inyectiva en algún Cᴺ, con diferencial inyectivo e imagen cerrada. Una cota clásica suficiente es N=2n+1; no se afirma que siempre sea mínima. La geometría local y el control de los escapes se reúnen en esa realización.
El agotamiento de la gráfica
Identificar Y de la sección anterior con su parámetro z y tomar ψ=|z|²+|eᶻ|².
Levi
Es 1+|eᶻ|², positiva en cada punto.
Subniveles
La cota ψ≤c implica |z|²≤c.Compactitud
El subnivel es cerrado y acotado en el plano del parámetro, así que es compacto.
Es un agotamiento estrictamente PSH de Y.
No basta con que ψ sea estricta: también hemos comprobado los subniveles.
Una dirección compacta queda invisible
X=C×P¹ y ψ(z, p)=|z|².
Agotamiento
Los subniveles cerrados son discos cerrados por P¹, compactos.
PSH débil
La Levi es cero en las direcciones de P¹, por lo que no es estricta.
Separación
Toda función holomorfa es constante en cada fibra compacta {z}×P¹: no separa dos puntos de esa fibra.
X tiene agotamiento PSH pero no es Stein.
En dominios de Cⁿ, la equivalencia de Levi aporta más; aquí estamos en una variedad compleja general.
5. Un haz coherente tiene datos y relaciones controlados localmente
Un haz registra secciones en abiertos, sus restricciones y cómo se pegan secciones compatibles. La coherencia es una condición de finitud local para generadores y relaciones. En cartas hay presentaciones con módulos libres de rango finito y matrices holomorfas; no es solo una lista arbitraria de funciones.
El teorema de coherencia de Oka permite trabajar con 
, secciones de fibrados holomorfos de rango finito e ideales de subconjuntos analíticos cerrados. Un haz de grupos cualquiera no es automáticamente un módulo coherente de este tipo. Esa categoría es una hipótesis de los teoremas A y B.
Un ideal local tiene un generador visible
Funciones holomorfas que se anulan en cero en C.
Serie
g(0)=0 permite escribir g(z)=zh(z), con h holomorfa cerca de cero.
Generador
El ideal está generado por la función z.
Relaciones
Si zh=0 como germen, h=0, porque se anula fuera de cero y se aplica identidad.
Es un ejemplo coherente de un ideal de funciones.
En abiertos que evitan cero, z es invertible y genera todo el haz O.
Un cociente conserva un resto de grado menor
F=O/(z²), y f(z)=4+7z+z²eᶻ.
Relación
En el cociente z² se hace cero.
Reducir
El término z²eᶻ desaparece y la clase es 4+7z.
Presentación
Como módulo, lo genera la clase de uno con relación z²·1=0.
El cociente es coherente; guarda un valor y una derivada en cero.
Es una estructura de módulo, no la afirmación de que todas las secciones globales de O sean polinomios.
6. Cartan A genera cada germen usando secciones globales y coeficientes locales
Si X es Stein y F coherente, las secciones globales generan cada tallo 
como módulo sobre 
. Un germen se expresa como combinación finita de gérmenes de secciones globales, pero sus coeficientes pueden ser solo locales.
La conclusión se formula tallo a tallo. No afirma sin condiciones adicionales que exista un único número finito de secciones que genere simultáneamente todo haz en todo X. Para ideales, permite obtener ecuaciones locales a partir de funciones globales que se anulan en el conjunto correspondiente.
El coeficiente no tiene por qué ser global
Germen g(z)=z/(2−z) cerca de cero, en el ideal de cero.
Sección global
La función z es un generador global del ideal.
Coeficiente local
g=z·h con h=1/(2−z), holomorfa cerca de cero.Límite
h tiene un polo en dos; no es una función entera en todo C.
Generación del germen no significa extensión entera de ese mismo germen.
El coeficiente local es exactamente lo que permite la formulación modular.
Dos ecuaciones locales pueden venir de una global
En C, el ideal del conjunto cerrado {0,1}.
Generador
La función global z(z−1) se anula en ambos puntos.
Cerca de cero
El factor z−1 es invertible, así que el generador equivale al generador local z.
Cerca de uno
Ahora z es invertible y equivale al generador local z−1.
Una misma sección global produce los generadores de los dos tallos.
La igualdad local usa unidades holomorfas distintas en cada vecindad.
7. Cartan B anula cohomología positiva, no las secciones globales
.En una sucesión exacta 0→F→G→H→0 de haces coherentes, la anulación de H¹(X, F) permite levantar toda sección global de H a una de G.
Con un subconjunto analítico cerrado Y y su ideal 
, esto permite extender funciones holomorfas de Y a X. Ideales con potencias permiten prescribir jets finitos. La compatibilidad, la coherencia y el cierre del subconjunto pertenecen a las hipótesis; no son promesas para cualquier dato sin condiciones.
Interpolar dos valores y verificar la extensión
En C, pedir f(0)=2 y f(1)=5.
Buscar
Una recta f(z)=a+bz tiene dos coeficientes.Datos
a=2 y 2+b=5, así que b=3.Comprobar
f(z)=2+3z es entera y satisface los dos valores.
La extensión existe y aquí es un polinomio elemental.
Cartan B ofrece el marco general, no obliga a que todas las extensiones sean únicas.
Prescribir una derivada además de valores
Pedir f(0)=1, f′(0)=4 y f(1)=0.
Primeros datos
Un polinomio de la forma 1+4z+az² ya cumple los dos datos en cero.
Último dato
1+4+a=0 da a=−5.Verificar
f=1+4z−5z² cumple f(1)=0 y f′(0)=4.
Los jets finitos también son datos de un cociente por un ideal coherente.
No se está prescribiendo arbitrariamente una función en un conjunto con acumulación interior.
8. Cousin y Dolbeault convierten la anulación en problemas concretos
Un problema aditivo de Cousin da funciones 
holomorfas en solapamientos, con +
+
=0.
locales con =−
.La obstrucción vive en H¹(X, ), que se anula en Stein. Primero se comprueba compatibilidad; después se pregunta por el pegado.
Dolbeault identifica Hᑫ(X, ) con formas suaves de tipo (0, q) cerradas para ∂̄, módulo las exactas. Para q≥1, la anulación permite resolver ∂̄u=g cuando g es cerrada. No añade por sí sola una estimación de norma ni regularidad hasta el borde de un dominio.
Comprobar un cociclo con números
g₁₂=−2, g₂₃=−3 y g₃₁=5.
Compatibilidad
−2−3+5=0.Elegir locales
f₁=0, f₂=2 y f₃=5.Restar
f₁−f₂=−2, f₂−f₃=−3 y f₃−f₁=5.
Estos datos constantes son compatibles y tienen solución explícita.
Este ejemplo finito no demuestra Cartan B; ilustra qué ecuación resuelve el teorema en el caso general.
Una ecuación d barra que podemos resolver directamente
En C, 
.
Proponer
.Derivar
.Conclusión
La forma dada es exacta; en una variable toda forma suave (0,1) es automáticamente ∂̄-cerrada.
En varias variables la condición de estar cerrada ya no se omite.
u es suave pero no holomorfa; resolver ∂̄u=g no exige que u tenga ∂̄u=0.
9. La cohomología del haz O no es toda la topología del espacio
C* es Stein y se retrae sobre la circunferencia. Su cohomología topológica H¹ con coeficientes complejos es C.
El haz constante C y el haz O no son el mismo objeto.
También pueden existir fibrados topológicamente no triviales en variedades de Stein. Los principios de Oka–Grauert comparan clasificación topológica y holomorfa bajo sus hipótesis, sin afirmar que todo fibrado sea trivial. La anulación de obstrucciones coherentes no borra toda la topología.
Una vuelta alrededor del origen sigue existiendo
En C*, el círculo z=e elevado a iθ.
Recorrido
θ de cero a 2π da una vuelta alrededor del punto ausente.
Retracción
z↦z/|z| recuerda esa circunferencia.
Cohomologías
Ese comportamiento topológico no contradice H¹(C*, O)=0, porque cambió el haz de coeficientes.
Ser Stein no equivale a ser contráctil.
La palabra cohomología necesita indicar qué objetos se están midiendo.
Una uno forma holomorfa puede no tener primitiva global
En C*, considerar dz/z.
Integral
Sobre el círculo positivo, su integral es 2πi.
Si fuera df
Una primitiva global daría integral cero en todo camino cerrado.
Conclusión
No existe esa primitiva holomorfa global, aunque H¹(C*, O)=0.
La cohomología del complejo de formas holomorfas no se confunde con un único grupo H¹ del haz O.
La obstrucción aquí es un período, no un cociclo aditivo del mismo tipo anterior.
10. Los dominios de C ene tienen criterios equivalentes, pero no convexidad real idéntica
Para Ω⊂Cⁿ, las coordenadas ambiente ya proporcionan separación y coordenadas locales. Ser Stein, dominio de holomorfía, holomórficamente convexo y pseudoconvexo son equivalentes. Para superficies de Riemann abiertas, el teorema de Behnke–Stein da también Stein.
La envolvente holomorfa usa módulos de funciones holomorfas, no segmentos reales. Puede ser mucho menor que la convexa real. Las condiciones analíticas del tema tampoco sustituyen el análisis local de un punto singular: las extensiones a espacios analíticos usan haces y estructuras que se precisan por separado.
Dos puntos no obligan a incluir su segmento
K={0,2}⊂C.
Polinomio
p(z)=z(z−2) se anula en K.Excluir
Para cualquier q fuera de K, |p(q)|>0=max_K|p|, así que q no está en la envolvente holomorfa.
Comparar
La envolvente holomorfa es K; la convexa real contiene todo [0,2].
Las dos envolventes miden condiciones diferentes.
Basta una función separadora para excluir cada punto adicional.
Un agotamiento estricto de C estrella
ψ(z)=|z|²+|z|⁻² para z≠0.
Levi
La primera parte aporta uno y la segunda |z|⁻⁴, ambas positivas.
Dos escapes
ψ crece cuando |z|→∞ y también cuando |z|→0.Subniveles
Una cota ψ≤c exige 1/√c≤|z|≤√c; el subnivel cerrado queda compacto en C*.
C* es Stein aunque tenga la topología de una circunferencia.
La perforación en dimensión compleja uno no se comporta como C²∖{0}.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Separar puntos en C
Dados a≠b en C, encuentra una función holomorfa que los separe.
Datos
a y b son dos números complejos distintos.
Función
Elegimos f(z)=z.Globalidad
Es holomorfa en todo C, no solo en una vecindad de un punto.
Primer valor
f(a)=a.Segundo valor
f(b)=b.Separar
Como a≠b, también f(a)≠f(b).La coordenada separa los puntos.
La coordenada z separa los puntos.
No se necesita una función construida a medida.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cohomología coherente
Si X es Stein y F coherente, calcula H²(X,F).
Espacio
X es Stein.
Haz
F es coherente, una hipótesis que hay que conservar.
Teorema B
Hᑫ(X, F)=0 para todo q≥1.Grado
Aquí q=2, que es positivo.Resultado
H²(X, F)=0.Límite
No se concluye lo mismo para un haz cualquiera ni para H⁰, que recoge las secciones globales.
H²(X,F)=0.
No se aplica sin coherencia.
Los símbolos que hemos usado
- X
- Variedad compleja Hausdorff con base numerable de abiertos; consideramos dimensión compleja finita.
- O_X, O(X)
- Haz de funciones holomorfas y su álgebra de secciones globales.
- K̂_X
- Envolvente holomorfa de K: {x∈X:|f(x)|≤sup_K|f| para toda f∈O(X)}.
- F coherente
- Haz de O_X-módulos localmente generado por un número finito de secciones y con haces de relaciones localmente finitamente generados.
- Fₓ
- Germen o tallo del haz F en x, un módulo sobre el anillo local O_X,x.
- Hᑫ(X,F)
- Cohomología de haces, que registra obstrucciones a resolver problemas de compatibilidad global.
- Aplicación propia
- La preimagen de todo compacto es compacta; una inmersión holomorfa propia e inyectiva identifica X con una subvariedad cerrada.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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