Corrientes y residuos en varias variables

En una variedad compleja de dimensión n, la dimensión real es 2n. Una forma α de grado r con coeficientes localmente integrables define , donde la prueba φ es suave, compactamente soportada y de grado 2n−r.

Una corriente general es un funcional lineal continuo sobre esas pruebas. La continuidad controla un número finito de derivadas sobre cada compacto; no exige que sus coeficientes sean funciones ordinarias. Aquí llamamos grado r al de α. Otros textos indexan por la dimensión de la prueba: conviene traducir antes de comparar fórmulas.

Si S es una subvariedad real orientada de dimensión k, con volumen finito sobre compactos del ambiente, [S] actúa integrando k-formas sobre S. Su grado es 2n−k. Cambiar la orientación cambia su signo. Una subvariedad compleja tiene orientación compleja canónica.

Si Y tiene dimensión compleja p, [Y] tiene bigrado (n−p, n−p) y actúa sobre pruebas de tipo (p, p). Para subconjuntos analíticos cerrados de dimensión pura se integra sobre la parte regular; su volumen local es finito y la corriente resultante es cerrada. Ese resultado no afirma que el conjunto singular sea una subvariedad suave.

Para una corriente de grado r fijamos . La fórmula d(α∧φ)=dα∧φ+(−1)ʳα∧dφ y Stokes con prueba compacta dan .

Para una S propiamente incluida en el ambiente, de dimensión real k y con borde, esto da en ambiente de dimensión par. La inclusión propia evita extremos omitidos que se acumulen dentro del ambiente. Si se usa en cambio la convención de borde de corrientes indexadas por dimensión, ∂T(φ)=T(dφ), aparece ∂[S]=[∂S] sin ese factor.

Es una traducción de convenciones, no un cambio del borde geométrico.

Una corriente real de tipo (1,1) es positiva si devuelve valores no negativos sobre pruebas fuertemente positivas de tipo (n−1, n−1), construidas con productos de y coeficientes no negativos.

Las corrientes de hipersuperficies complejas son positivas. Multiplicar por una forma suave está definido, pero no multiplicar dos corrientes arbitrarias. Para u PSH localmente integrable, ddᶜu es positiva y cerrada con la normalización siguiente. Bedford–Taylor define determinados productos con potenciales PSH localmente acotados; no cualquier producto de deltas o divisores coincidentes.

Usamos . Para una meromorfa no idénticamente cero en ninguna componente, log|f| es localmente integrable y . Se suman los órdenes de ceros y se restan los de polos.

En C, sobre un círculo positivo, dᶜlog|z|=dθ/(2π), de integral uno.

La igualdad es de corrientes: fuera del cero el logaritmo es armónico, pero la contribución puntual no desaparece. Con esta convención, usar log|f|² duplicaría el divisor.

Para h holomorfa cerca del polidisco cerrado, integramos la forma h(z, w)dz∧dw/(zw) sobre Γ={|z|=r,|w|=s}. La orientación es d arg z∧d arg w positiva. Γ es producto de dos círculos, no la esfera real tridimensional de C².

Dos aplicaciones de Cauchy, con esa orientación, dan . La integral selecciona el coeficiente constante de h. Variar los radios dentro de la región donde h es holomorfa no cambia esa extracción.

Para denominador zᵃwᵇ, con a, b enteros positivos, el residuo normalizado es el coeficiente de z elevado a a−1 por w elevado a b−1 en h. Equivalentemente es .

No se sustituye simplemente h(0,0) si alguno de los órdenes supera uno. Tampoco se identifica cualquier residuo con multiplicidad del cero del sistema: el numerador importa. La multiplicidad puede recuperarse con un numerador adecuado, pero es otra afirmación.

Sean f₁,…, holomorfas cerca de p, con cero común aislado. Se escogen pequeños niveles admisibles que formen un ciclo local regular Γ_f={||=ε_j}, orientado según el orden de sus argumentos. El residuo de Grothendieck es la integral de h dz₁∧…∧dz_n/(f₁…), normalizada por (2πi)ⁿ.

No se eligen círculos coordenados arbitrarios como si todos los polos fueran separados. Si , el cambio ζ=f(z) permite aplicar Cauchy y da residuo h(p)/(p). Si el jacobiano se anula, esa división no es válida.

Invertir un círculo cambia el signo de la integral. En el caso general, permutar f₁,…, cambia la orientación del ciclo por el signo de la permutación si el numerador diferencial se mantiene fijo. Aunque el producto escalar de los denominadores conmute, el sistema ordenado aporta información adicional.

Si se cambian también las coordenadas, se transforma dz₁∧…∧dz_n con su jacobiano. La invariancia correcta conserva todos esos factores. No se mantiene el valor ignorando una dilatación del denominador o una permutación de orientación.

Poincaré–Lelong representa hipersuperficies de ceros y polos como corrientes con sus órdenes. Los residuos integran formas meromorfas sobre ciclos y extraen información local dependiente del numerador y del sistema. Una hipersuperficie y un punto en C² no tienen el mismo grado de corriente.

Las corrientes residuales enlazan estas integrales con ideales y dualidad local en una teoría más amplia. Antes de usarla se deben fijar los objetos y las operaciones permitidas. No se convierte cualquier intersección en un producto ordinario de corrientes singulares ni cualquier residuo en una multiplicidad.