Una singularidad puede ser un agujero que se completa, un polo o una esencial. Para una integral cerrada no hace falta conservar todos sus términos: solo uno, el de potencia menos uno, aporta una vuelta completa. Vamos a clasificar primero y calcular después ese residuo, revisando qué puntos rodea realmente el contorno. Usamos orientación antihoraria positiva salvo indicación contraria.
Si necesitas repasar:
1. Aislada significa que podemos rodear el punto sin encontrar otros obstáculos
a es una singularidad aislada si la función es de valor único y holomorfa en algún disco perforado 0<|z−a|<R, con un problema o punto excluido en el centro. Un denominador cero solo señala un candidato; puede haber cancelaciones.
Si otros polos se acumulan en a, ningún disco perforado completo queda libre de ellos. Tampoco tratamos un punto de ramificación de una expresión multivaluada como una singularidad aislada de una función holomorfa única en todo el disco perforado.
Escoger un radio que aísla un punto
f(z)=1/[z(z−2)] cerca de cero.
Candidatos
Los ceros del denominador son cero y dos.
Disco
En 0<|z|<1 no hay otros ceros del denominador.Conclusión
Cero es una singularidad aislada; podemos estudiar su Laurent local.
Elegir un radio concreto verifica el aislamiento.
No hace falta excluir todas las demás singularidades del plano, solo encontrar un disco local sin ellas.
Una acumulación que impide ese disco
f(z)=1/sin(π/z).
Otros polos
En z=1/n, n≥1, el seno se anula y aparecen polos.Acumulación
1/n→0, de modo que cualquier disco alrededor de cero contiene algunos de esos polos.
Fallo
La función no es holomorfa en ningún disco perforado completo centrado en cero.
Cero no entra en la clasificación de singularidad aislada de esta función.
Las singularidades individuales 1/n sí pueden aislarse; el problema es su punto de acumulación.
2. La parte principal de Laurent decide la clasificación local
Si todos los coeficientes negativos son cero, es removible. Si hay finitos negativos no nulos, es un polo y el exponente más negativo determina su orden. Si hay infinitos negativos no nulos, es esencial.
Las tres categorías son excluyentes para una singularidad aislada. Necesitamos radio interior cero: una Laurent exterior con infinitas potencias negativas no clasifica por sí sola el centro, porque no describe puntos cercanos a él.
Un agujero que una serie completa
sin z/z, inicialmente para z≠0.
Dividir Taylor
sin z/z=1−z²/6+z⁴/120−….Leer
No hay potencias negativas.
Completar
Definir valor uno en cero da una función holomorfa.
La singularidad es removible.
Que aparezca una división por cero en la expresión original no la convierte automáticamente en polo.
Polo y esencial por sus términos negativos
Compara 1/z³+2/z con sin(1/z).
Finita
La primera tiene dos términos negativos y el más bajo es −3: polo de orden tres.
Infinita
sin(1/z)=z⁻¹−z⁻³/6+z⁻⁵/120−… tiene infinitos términos negativos.Región
Estas series valen en discos perforados, así que la segunda es esencial en cero.
La cantidad de términos negativos separa polo de esencial.
El orden de un polo se lee en el exponente, no contando cuántos términos principales hemos escrito.
3. Acotación local y cancelación ofrecen criterios prácticos
Si una función holomorfa en un disco perforado está acotada cerca del centro, su singularidad es removible. La fórmula de coeficientes da |c₋ₘ|≤M rᵐ para todo radio pequeño; r→0 fuerza que todos los coeficientes negativos sean cero.
Hay polo de orden m si H(z)=(z−a)ᵐf(z) se extiende holomórficamente con H(a)≠0. Si H(a)=0, el orden supuesto puede reducirse; cancelamos o estudiamos sus ceros.
Un límite que completa la función
f(z)=(eᶻ−1)/z.
Taylor
eᶻ−1=z+z²/2+….Cancelar por series
f=1+z/2+… y tiene límite uno.Extensión
Dar f(0)=1 completa una función holomorfa y acotada cerca de cero.
Es removible.
No confundimos la fórmula indeterminada 0/0 con el valor de su límite.
Un numerador no nulo fija el orden
f(z)=eᶻ/z³.
Eliminar el candidato
H(z)=z³f(z)=eᶻ.Centro
H(0)=1≠0.Orden
La función tiene un polo de orden tres; no hay un cero del numerador que lo reduzca.
El polo tiene orden 3.
El residuo aún no se ha calculado: no se deduce solo del orden.
4. El residuo es el coeficiente de potencia −1, aunque otro término sea mayor
En un círculo positivo pequeño, la integral de (z−a)ᵏ se anula salvo k=−1, cuando vale 2πi. Integrando Laurent término a término obtenemos ∮f dz=2πi Res(f,a).
El residuo no describe por sí solo el tipo ni el orden de una singularidad. Un polo puede tener residuo cero y una esencial también. Puede haber un término muy singular que no aporte a la integral circular.
Un polo con contribución circular cero
f(z)=1/z³.
Clasificación
Hay polo de orden tres.
Residuo
No aparece z⁻¹; c₋₁=0.Integral
Toda vuelta circular positiva alrededor de cero tiene integral cero de esta función.
Residuo cero no significa singularidad removible.
La primitiva −1/(2z²), definida fuera de cero, ofrece otra comprobación de integral cerrada cero.
Una esencial con residuo no nulo
f(z)=e^(2/z).
Laurent
1+2/z+2/z²+…; en general el término n es 2ⁿ/(n!zⁿ).
Coeficiente
El de z⁻¹ es dos.
Integral
Una vuelta positiva tiene integral 4πi.
Es esencial y su residuo es 2.
El residuo sigue siendo un solo coeficiente, aunque existan infinitos términos negativos.
5. En un polo simple cancelamos una sola potencia
Si g(a) también es cero, la misma fórmula da residuo cero, pero ya no garantiza que haya un polo simple: puede ser removible. Primero localizamos y clasificamos, después usamos la fórmula con sus condiciones.
Un cociente con polo simple
f(z)=(z+1)/[(z−2)(z+3)], en a=2.
Orden
z+3 vale cinco y el numerador tres en dos, ambos no nulos.
Cancelar
(z−2)f(z)=(z+1)/(z+3).Evaluar
Res(f,2)=3/5.
El residuo en 2 es 3/5.
Con h=z²+z−6, h′(2)=5 y g(2)/h′(2)=3/5 confirma el cálculo.
La fórmula no obliga a que el punto sea polo
f(z)=(z−2)/(z²−4), cerca de a=2.
Factorizar
z²−4=(z−2)(z+2).Completar
Fuera del punto, f=1/(z+2); en dos se extiende con valor 1/4.
Residuo
Es cero, también dado por g(2)/h′(2)=0/4.
En dos la singularidad es removible.
La condición h′(a)≠0 describe un cero simple del denominador, pero el numerador puede cancelarlo.
6. En orden m buscamos el término de grado m−1 del numerador regular
Si H=(z−a)ᵐf se prolonga holomórficamente, al dividir su Taylor por (z−a)ᵐ el coeficiente de potencia −1 procede del grado m−1.
No se deriva m veces. A menudo una expansión conocida permite leer el coeficiente con menos trabajo; la fórmula de derivadas sirve como contraste. Si al formar H vemos que H(a)=0, revisamos antes el orden real del polo.
Un polo de orden tres
f(z)=e^(2z)/z³.
Regularizar
H=e^(2z), H(0)=1; el orden es tres.Derivar
Necesitamos H″(0)/2!: H″=4e^(2z).Evaluar
El residuo es 4/2=2.
Res(f,0)=2.
En la serie, e^(2z)=1+2z+2z²+…; al dividir por z³, el término 2z² produce 2/z.
Un polo de orden cuatro con residuo cero
f(z)=cos z/z⁴.
Orden
cos0=1, así que es polo de orden cuatro.
Taylor
cos z/z⁴=z⁻⁴−(1/2)z⁻²+1/24−…; no aparece z⁻¹.Fórmula
H‴(0)/3!=sin0/6=0.
El residuo es 0.
El orden cuatro no fuerza que el coeficiente menos uno sea distinto de cero.
7. El teorema de residuos suma las contribuciones de los puntos interiores
Si f es holomorfa en un entorno de una región cerrada salvo finitas singularidades aisladas interiores, y ninguna está sobre la frontera simple positiva γ, entonces ∮γ f dz=2πi Σ Res(f,aⱼ). También puede haber esenciales, siempre aisladas.
Retiramos discos pequeños de cada singularidad. Cauchy en la región restante iguala la integral exterior con la suma de pequeños círculos positivos; cada uno conserva su coeficiente −1. El dibujo explica por qué se suman contribuciones locales sin añadir las de puntos exteriores.
Dos polos que suman una contribución
f=(z+1)/[(z−2)(z+3)] sobre |z|=4.
Interior
Los polos dos y −3 están dentro y no tocan el contorno.
Residuos
En dos es 3/5; en −3, (z+1)/(z−2) vale (−2)/(−5)=2/5.Sumar
La suma es uno, luego la integral es 2πi.
La integral vale 2πi.
Los residuos se suman antes de multiplicar por 2πi; la orientación es positiva.
Dos polos interiores pueden cancelarse
f=1/(z²+1) sobre |z|=2.
Puntos
Hay polos simples en i y −i.
Valores
Sus residuos son 1/(2i)=−i/2 y 1/(−2i)=i/2.Total
La suma es cero y la integral también.
Una integral cero no demuestra ausencia de singularidades dentro.
Aquí el cero sale de cancelación de contribuciones, no de holomorfía en todo el disco.
8. Ubicación, sentido y vueltas se revisan antes de sumar
Con una curva simple solo incluimos singularidades interiores. Cambiar a sentido horario multiplica por −1. Para curvas más generales, bajo las hipótesis topológicas del teorema, cada residuo se pondera con el número de vueltas firmado del contorno alrededor de su punto.
Si una singularidad cae sobre la curva, esta versión ordinaria no se aplica. Tampoco se oculta una indefinición con una regularización no solicitada: valor principal y otras nociones necesitan un enunciado distinto.
Dos vueltas horarias
f=1/z y γ(t)=3e^(−2it), 0≤t≤2π.
Vueltas
El ángulo baja desde cero hasta −4π: número de vueltas −2.
Residuo
Res(1/z,0)=1.Teorema
La integral es 2πi·(−2)·1=−4πi.
Mismo círculo geométrico, multiplicidad y signo diferentes.
La parametrización directa da f(γ)γ′=−2i y el mismo resultado.
Un polo en la frontera impide esta aplicación
f=1/(z−1) sobre |z|=1.
Localizar
El polo uno pertenece al contorno.
Hipótesis
El integrando no es continuo sobre la curva ni está definido allí.
Alcance
No se aplica el teorema ordinario sumando medio residuo sin otra definición.
El problema requiere revisar o redefinir la noción de integral antes de dar un valor.
Una singularidad exterior o interior no es lo mismo que una singularidad sobre el camino.
9. Comprobamos por separado clasificación local y suma global
En racionales factorizamos y cancelamos antes de decidir órdenes. Después elegimos fórmula simple, derivada de orden superior o expansión. Al final revisamos qué singularidades rodea la curva y con qué sentido.
Residuo cero no elimina una singularidad; integral total cero no elimina todos los residuos. Mantener estas dos distinciones evita deducir una propiedad local a partir de una sola suma global.
Una esencial que tampoco aporta a una vuelta
f=e^(1/z²).
Serie
Σ desde n=0 de z⁻²ⁿ/n! tiene infinitas potencias negativas pares.
Clasificación y coeficiente
Es esencial, pero no aparece z⁻¹ y el residuo es cero.
Integral
Una vuelta positiva alrededor de cero tiene integral cero.
Incluso una esencial puede tener residuo nulo.
El coeficiente seleccionado por la integral es específico, no una medida de gravedad de la singularidad.
Cancelar antes de contar el orden
f=(z−1)²/[(z−1)⁴(z+2)], cerca de uno.
Reducir
f=1/[(z−1)²(z+2)], fuera de los puntos excluidos.Orden
H=(z−1)²f=1/(z+2), con H(1)=1/3≠0: polo de orden dos.Residuo
H′(1)=−1/9, así que Res(f,1)=−1/9.
El orden real es dos y el residuo −1/9.
El polo simple en −2 tiene residuo 1/9: un contorno que encierre ambos tendrá cancelación total, aunque los residuos individuales no sean cero.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Polo simple
Halla Res(1/(z²+1),i).
Factorizar
z²+1=(z−i)(z+i).Orden
En i, el factor z+i vale 2i≠0; el polo es simple.Cancelar
(z−i)/(z²+1)=1/(z+i) cerca del punto.Límite
Res(1/(z²+1),i)=1/(2i).Simplificar
Como 1/i=−i, el resultado es −i/2.Contrastar
g=1 y h=z²+1 dan g(i)/h′(i)=1/(2i), la misma respuesta.
1/(2i)=−i/2.
La función restante 1/(z+i) es holomorfa cerca de i; no queda ninguna indeterminación después de cancelar el factor simple.
EJEMPLO RESUELTO 2
Polo de orden dos
Halla Res(e^z/z²,0).
Orden
e⁰=1, así que eᶻ/z² tiene polo de orden dos.
Numerador
eᶻ=1+z+z²/2+z³/6+….Dividir
Queda z⁻²+z⁻¹+1/2+z/6+….
Seleccionar
El residuo es el coeficiente de z⁻¹: uno.
Otra vía
H=z²f=eᶻ y H′(0)/1!=1.Distinguir
El orden es dos y el residuo uno. Una vuelta positiva aporta 2πi; el término más singular z⁻² integra a cero.
Residuo 1.
Una vuelta positiva pequeña tiene integral 2πi por ese residuo, mientras el término más singular z⁻² integra a cero.
Los símbolos que hemos usado
- a
- Punto donde se estudia la singularidad.
- 0<|z−a|<R
- Disco perforado donde la función es holomorfa y de valor único.
- c_k
- Coeficiente de (z−a)^k en Laurent.
- Res(f,a)
- Residuo c₋₁ de la expansión local.
- Polo de orden m
- La potencia negativa más baja es −m y su coeficiente no es cero.
- γ
- Contorno cerrado que evita las singularidades.
- Índice o número de vueltas
- Cantidad firmada de veces que γ rodea un punto exterior al recorrido.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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