Para u=3|z|², ¿cuál es u_(z z̄)?
El coeficiente pasa a la derivada mixta.
Derivar respecto de z̄ produce 1.
¿Cuántos autovalores negativos tiene diag(2,0,−1)?
Lee la diagonal.
Los autovalores de una matriz diagonal son sus entradas.
En diag(2,0,−1), 2 es positivo y 0 es nulo.
Solo −1 es negativo; hay un autovalor negativo.
¿|z₁|² es estrictamente plurisubarmónica en C²? Responde sí/no.
La segunda dirección tiene Levi cero.
La Levi de |z₁|² en C² es diag(1,0).
En el vector no nulo (0,1), su valor es cero.
La positividad estricta exige valor positivo en todos los vectores no nulos; la respuesta es no, aunque sí sea PSH.
Prueba que sumar dos funciones C² plurisubarmónicas conserva plurisubarmonía.
Suma sus matrices de Levi.
Si u y v son C² PSH, sus formas de Levi son semipositivas.
Cada sumando es ≥0 para todo w, por lo que la suma también lo es.
El criterio C² prueba que u+v es PSH; no necesita que ninguna sea estricta.
Explica por qué la estricta positividad de |z₁|²+|z₂|² desaparece al restar |z₂|².
Examina la segunda dirección.
La matriz Levi pasa de diag(1,1) a diag(1,0).
En (0,1) la evaluación se anula, así que deja de ser definida positiva.
Sigue siendo semipositiva y por tanto PSH, pero pierde la propiedad estricta.