Funciones plurisubarmónicas

Una función u subarmónica en un abierto de C es superiormente semicontinua y satisface para cada disco cerrado contenido en el abierto. Se permite el valor −∞, pero una subarmónica no trivial es localmente integrable.

Evita elegir arbitrariamente un representante de una clase integrable. La desigualdad submedia añade otra condición: una función puede ser superiormente semicontinua y aun tener un pico central que viole esa media.

Una recta compleja tiene forma t↦z+tv, con t∈C y v∈Cⁿ no nulo. Una función superiormente semicontinua es plurisubarmónica, o PSH, si toda restricción a esa recta es subarmónica o idénticamente −∞ en cada componente donde esté definida. Se usan discos contenidos en el dominio.

En un dominio conexo, una PSH no idénticamente −∞ pertenece a L¹ local y no puede ser −∞ en un abierto. Sí puede serlo sobre conjuntos menores. La propiedad es local e invariante por coordenadas holomorfas. Una composición con una aplicación holomorfa vuelve a ser PSH, con la posibilidad permitida de ser idénticamente −∞.

Con z=x+iy, definimos .

Entonces .

Para una función C², subarmonía en una variable equivale a Δu≥0.

En varias variables, la regla de la cadena da . Por tanto u es PSH si y solo si su Levi es semidefinida positiva: el valor debe ser ≥0 para todo v. Diagonales positivas solas no bastan si hay términos cruzados.

La positividad estricta pide (z; v)>0 para todo v≠0.

En el caso C², por continuidad, cerca de un punto estrictamente positivo existe ε>0 con ≥ε‖v‖². Equivalentemente, u−ε|z|² es PSH en una vecindad suficientemente pequeña.

Una función puede ser PSH y plana en algunas direcciones. La suma de una PSH y una estrictamente PSH conserva estricta positividad. La resta no tiene esa regla: puede borrar una dirección positiva o hacerla negativa. Para funciones no suaves se formulan las versiones locales apropiadas de positividad.

Una C² convexa como función de 2n variables reales es PSH: la laplaciana de cada disco complejo suma dos segundas derivadas reales no negativas. El recíproco falla; una función puede ser armónica en C y tener curvaturas reales de signos contrarios.

Toda PSH C² es subarmónica real porque . Pero una traza positiva no impide un autovalor negativo. Desde n=2, la subarmonía real es una condición más débil que la semipositividad de Levi.

Si f es holomorfa en un dominio y no idénticamente cero, log|f| es PSH con valor −∞ en sus ceros. Donde f no se anula existe localmente un logaritmo holomorfo; log|f| es su parte real y tiene Levi cero. La singularidad en los ceros no se omite al interpretar la función globalmente.

Para holomorfas f₁,…, , log S con S=Σ||² es también PSH. Donde S>0, por Cauchy–Schwarz. Puede haber direcciones nulas; no se afirma estricta positividad automática.

Combinaciones con coeficientes no negativos y máximos finitos preservan PSH. También χ∘u si χ es convexa y no decreciente, con los valores extendidos bien definidos. Una sucesión decreciente de PSH tiene límite PSH o idénticamente −∞ en cada componente.

El supremo de una familia localmente acotada por arriba se toma con su regularización semicontinua superior. Sin ella puede fallar la definición. Además, la positividad estricta no pasa automáticamente a límites: |z|²/j es estricta para cada j y su límite cero es plano.

Una PSH no trivial es L¹ local. Se convoluciona con una suavizante radial no negativa en regiones separadas del borde. Se obtienen funciones suaves PSH que, al tender el radio a cero, recuperan el representante superiormente semicontinuo. Para reforzar positividad puede añadirse ε|z|².

La expresión i∂∂̄u se define distribucionalmente y es una corriente positiva de tipo (1,1). Extiende la Levi a funciones no C². No se pueden multiplicar corrientes arbitrarias: las potencias usadas por Monge–Ampère requieren una teoría adicional. Bedford–Taylor las define, en particular, para PSH localmente acotadas.

En la bola unidad, ψ(z)=−log(1−‖z‖²) tiene . Sus subniveles quedan dentro de bolas menores: además de estrictamente PSH, es un agotamiento.

Un dominio es pseudoconvexo si admite un agotamiento continuo PSH; por el problema de Levi equivale a dominio de holomorfía en Cⁿ. La finitud y el control de todos los escapes son parte del agotamiento. El principio del máximo dice que una PSH en dominio conexo no alcanza su máximo global finito en el interior salvo que sea constante.