En C³, ¿qué dimensión compleja tiene el tangente complejo de una hipersuperficie regular?
Hay una ecuación compleja lineal.
En una hipersuperficie regular de C³, ∂ρ es un covector complejo no nulo.
La ecuación de tangencia ∂ρ(v)=0 impone una condición compleja lineal independiente.
Para ρ=2|z₁|²+3|z₂|²−1, evalúa Levi en v=(1,1).
Suma los coeficientes ponderados.
La matriz de Levi es diag(2,3); el término constante no contribuye.
El resultado es 2+3=5; esta evaluación no afirma por sí sola que el vector sea tangente a un punto concreto.
¿ρ=(|z|²−1)³ tiene gradiente no nulo en la esfera? Responde sí/no.
El factor cuadrático se anula allí.
Por tanto la respuesta es no; aunque el conjunto {ρ<0} sea la bola, no es una definidora regular en su frontera.
Explica por qué hay que exigir dρ≠0 en una función definidora suave.
Se necesita una hipersuperficie regular.
El criterio de frontera utiliza una hipersuperficie real regular definida por ρ=0.
La condición dρ≠0 permite aplicar el teorema del nivel regular y garantiza un covector ∂ρ no nulo para definir el tangente complejo.
Si se permite ρ degenerada, sustituir una buena definidora s por s³ anula gradiente y Levi en el borde sin cambiar el interior.
La geometría no ha cambiado, pero esa ecuación deja de ser válida para el criterio regular; por eso hay que verificar la hipótesis.
Distingue convexidad real y pseudoconvexidad.
La segunda mira direcciones complejas y holomorfía.
La convexidad real exige que el segmento entre dos puntos del dominio permanezca en él.
La pseudoconvexidad se define mediante agotamientos PSH y, con borde C², por Levi en el tangente complejo.
Todo dominio convexo es pseudoconvexo, pero un cambio biholomorfo puede conservar pseudoconvexidad y destruir convexidad real.
Por tanto están relacionadas y no son equivalentes.