La convexidad real pregunta si el segmento entre dos puntos permanece dentro. En varias variables complejas hace falta otra noción, compatible con los cambios holomorfos de coordenadas. Empezaremos con una función que detecta todos los caminos de escape; después veremos cómo una frontera suave permite comprobar la condición con su tangente complejo.
Si necesitas repasar:
1. Un agotamiento PSH detecta el borde y también la huida hacia infinito
Un dominio Ω⊂Cⁿ es pseudoconvexo si admite una función continua, finita y plurisubarmónica ψ cuyos subniveles {ψ<c} quedan relativamente compactos en Ω para todo c real. Eso significa que su cierre es compacto y permanece dentro del dominio.
Ser PSH por sí solo no prueba agotamiento. La función debe crecer cuando nos acercamos a cualquier parte del borde o escapamos a infinito. La definición global funciona aunque la frontera tenga esquinas y no se pueda representar mediante una única hipersuperficie suave.
Una PSH que no detecta el borde
ψ=0 en la bola unidad.
Positividad
La constante es PSH.
Subnivel uno
{ψ<1} es toda la bola.Fallo
Podemos acercarnos a su frontera sin salir del subnivel; su cierre no queda dentro del dominio.
No es un agotamiento.
Acotación del dominio no sustituye compactitud relativa de los subniveles.
Sin borde finito también hay escapes
En Ω=C², ψ=|z₁|²+|z₂|².
Levi
Es identidad, estrictamente positiva.
Subnivel
Para c>0 es la bola de radio √c.Compactitud
Su cierre es compacto y está contenido en C².
Es un agotamiento y C² es pseudoconvexo.
La función controla aquí el infinito.
2. La bola y el polidisco ofrecen agotamientos que se pueden despejar
En la bola unidad, ψ=−log(1−‖z‖²) es suave y estrictamente PSH.
Para un subnivel no vacío y finito, ese radio es menor que uno, por lo que queda separado del borde.
En el polidisco, ψ=−Σlog(1−|
|²) es PSH y agota: cada sumando es no negativo, así que una cota de la suma controla cada coordenada. Una definidora de frontera ρ suele tender a cero en el borde; su misión es describir el lado interior, no sustituir sin más al agotamiento.
Despejar un nivel de la bola
ψ≤log 2.
Exponenciar
1−‖z‖²≥1/2.Radio
‖z‖≤1/√2.Separación
La bola cerrada de ese radio queda estrictamente dentro de la unidad.
El subnivel es compacto dentro del dominio.
La cota c es fija; no se manda a infinito al verificar un subnivel particular.
Controlar las dos coordenadas del bidisco
ψ=−log(1−|z|²)−log(1−|w|²)≤log 4.
Cada término
Ambos son ≥0, así que cada uno es ≤log 4.
Cotas
|z|²≤3/4 y |w|²≤3/4.Producto
El subnivel queda en el producto de dos discos cerrados de radio √3/2, dentro del bidisco.
El criterio global incluye las esquinas del borde del polidisco.
No se ha aplicado un criterio de frontera C² en una esquina.
3. El tangente complejo es más pequeño que el tangente real
Una definidora real C² cumple Ω={ρ<0} cerca del borde, ρ=0 en él y dρ≠0. Esa última condición da una hipersuperficie regular de dimensión real 2n−1. Su tangente real es ker dρ.
El tangente complejo es el mayor subespacio estable por multiplicar por i dentro del real. En coordenadas se identifica con 
. Tiene dimensión compleja n−1, o real 2n−2. Es una ecuación compleja, no solo su parte real.
Un vector puede ser tangente real pero no complejo
Bola de C², ρ=|z₁|²+|z₂|²−1, p=(1,0).
Ecuación compleja
en p es (1,0): se exige v₁=0.Tangente real
Solo exige Re(v₁)=0, así que v=(i,0) sí lo cumple.Diferencia
Ese v no cumple v₁=0; al multiplicarlo por i obtenemos (−1,0), que ni siquiera es tangente real.
El tangente complejo es v=(0, v₂).
Tiene dimensión compleja uno, no la dimensión real tres del tangente total.
Contar dimensiones en C tres
Una hipersuperficie regular en C³.
Ambiente
La dimensión real del ambiente es seis.
Tangente real
La ecuación real regular deja dimensión cinco.
Tangente complejo
Una ecuación compleja no trivial deja dimensión compleja dos, es decir real cuatro.
Las dos cuentas son compatibles y describen espacios distintos.
La condición dρ≠0 impide que la ecuación lineal compleja sea trivial.
4. Levi se comprueba en los tangentes complejos y con el lado interior fijado
Para un dominio con frontera C², pseudoconvexidad equivale a 
(p; v)≥0 para todo punto del borde y todo tangente complejo v. Si es >0 para v≠0, la frontera es estrictamente pseudoconvexa en ese punto.
Si otra definidora es ρ̃=hρ, con h>0, al derivar aparecen términos con ρ y con ∂ρ(v). En el borde y sobre el tangente ambos son cero, y queda 
. Se conserva el signo tangencial, aunque pueda cambiar la Levi en la normal.
Comprobar la bola con el espacio correcto
En p=(1,0), usar ρ=|z₁|²+|z₂|²−1.
Regularidad
El gradiente no es cero sobre la esfera.
Levi
Es la matriz identidad.
Tangente
En v=(0, v₂) da |v₂|²>0 si v≠0.
La bola es estrictamente pseudoconvexa.
La positividad se ha comprobado después de identificar el tangente.
Una definidora multiplicada por una función variable
Tomar h=2+|z₁|²+|z₂|².
Signo
h es positiva y en p=(1,0) vale tres.Tangente
Los términos extra se anulan por ρ=0 y ∂ρ(v)=0.Levi
La nueva forma vale 3|v₂|² en el tangente, todavía positiva.
No depende de elegir exactamente la definidora más sencilla.
Multiplicar por un factor negativo cambiaría qué lado se describe como ρ<0.
5. La normal puede tener Levi negativa sin estropear la pseudoconvexidad
El factor exponencial es positivo, así que ambos tienen el mismo interior y frontera. Para F(s)=s e⁻ˢ, F′(0)=1 y F″(0)=−2; sobre el borde, 
.
La dirección normal compleja es negativa, pero los tangentes siguen teniendo v₁=0 y valor positivo. Exigir positividad en todas las direcciones para cualquier definidora descartaría erróneamente esta misma bola.
Calcular la dirección normal
En p=(1,0), v=(1,0).
Primer término
‖v‖²=1.Corrección
.Valor
(v)=1−2=−1.
La normal de esta definidora no es positiva.
El vector usado no pertenece al tangente complejo.
Calcular una dirección compleja tangente
En el mismo p, v=(0,2i).
Tangente
v₁=0 cumple la ecuación.Corrección
.Valor
(v)=‖v‖²=4>0.
La estricta positividad tangencial se conserva.
El ejemplo distingue una propiedad de la frontera de una propiedad global de la definidora.
6. Pseudoconvexo permite puntos débiles con direcciones de Levi nulas
Para 
, con m≥2 entero, la definidora tiene Levi 
. Es semipositiva. El borde es regular porque sus primeras derivadas no se pueden anular simultáneamente donde la suma vale uno.
En p=(1,0), el tangente exige v₁=0 y su Levi vale cero: no es estrictamente pseudoconvexo allí. Eso no impide un agotamiento estrictamente PSH dentro del dominio. La positividad de una función interior y la curvatura estricta de una frontera concreta son condiciones diferentes.
Un caso débil concreto
m=3: ρ=|z₁|²+|z₂|⁶−1.
Levi
Es diag(1,9|z₂|⁴).
En p
En (1,0) se vuelve diag(1,0).
Tangente
Todo v=(0, v₂) tiene valor cero: hay pseudoconvexidad, pero no estricta en ese punto.
Semipositiva no significa positiva definida.
En puntos del borde con z₂≠0, esta matriz sí es positiva definida.
Un agotamiento interior puede ser estricto aunque el borde tenga un punto débil
Con q=|z₁|²+|z₂|⁶, tomar ψ=−log(1−q)+|z₁|²+|z₂|².
PSH
q es PSH; −log(1−q) es una composición convexa creciente en q<1.
Estricto
El sumando ‖z‖² aporta Levi identidad.
Agotamiento
Un subnivel fijo controla q por debajo de uno; el dominio es acotado y el cierre del subnivel permanece dentro.
La existencia de este agotamiento no vuelve estricta la Levi del borde en p.
No se confunden dos lugares distintos donde se exige positividad.
7. Un cambio biholomorfo conserva pseudoconvexidad aunque doble los segmentos
Todo dominio convexo de Cⁿ es pseudoconvexo. La recíproca falla: pseudoconvexidad es invariante por biholomorfismos, mientras que la convexidad de segmentos depende de las coordenadas reales.
La imagen del bidisco es pseudoconvexa. En una sección real, un segmento entre dos puntos interiores puede salir del dominio. Basta un segmento para demostrar falta de convexidad.
Dos puntos interiores con punto medio exterior
Usar F(4/5,0) y F(−4/5,0).
Imágenes
Ambas tienen segunda coordenada 2·16/25=32/25; las primeras son ±4/5.
Punto medio
Es (0,32/25).
Preimagen
F⁻¹ del punto medio es (0,32/25), fuera del bidisco porque 32/25>1.
La imagen no es convexa.
Los dos extremos sí están dentro: sus preimágenes tienen módulos menores que uno.
Transportar un agotamiento confirma pseudoconvexidad
En la imagen, usar ψ(z, W)=−log(1−|z|²)−log(1−|W−2z²|²).
Composición
Es el agotamiento del bidisco compuesto con la inversa holomorfa.
PSH
La composición holomorfa conserva PSH.
Subniveles
Son imágenes por F de subniveles relativamente compactos del bidisco y siguen relativamente compactos en la imagen.
La propiedad analítica sobrevive aunque los segmentos se curven.
La prueba no depende de que esa sección real sea convexa.
8. El problema de Levi conecta este criterio con la extensión holomorfa
La solución del problema de Levi afirma: un dominio de Cⁿ es pseudoconvexo si y solo si es dominio de holomorfía. Un agotamiento PSH se conecta así con la imposibilidad de extender todas las funciones a una misma región exterior. Es un teorema global, no solo una identidad de matrices.
En una bola perforada de Cⁿ, n≥2, Hartogs rellena el punto para todas las funciones. Por tanto el dominio perforado no es pseudoconvexo. Revisar solo su esfera exterior omitiría otra parte del borde: el punto retirado no es una hipersuperficie regular donde aplicar el criterio tangencial.
La esfera exterior no cuenta toda la historia
Bola unidad de C² sin cero.
Exterior
La esfera exterior tiene Levi tangencial positiva.
Borde completo
También contiene el punto cero, que no tiene una definidora de hipersuperficie regular.
Global
Hartogs y el problema de Levi muestran que el dominio no es pseudoconvexo.
No se ha contradicho el criterio de frontera C²: no se cumplía para todo el borde.
La definición por agotamientos sí se plantea para todo el dominio.
Una corona permite detectar el fallo en su borde interior
1<‖z‖<2 en C².
Exterior
La definidora local ‖z‖²−4 tiene Levi identidad.
Interior
Para el lado de la corona, la definidora es 1−‖z‖², con Levi menos identidad.
Tangente
En p=(1,0), v=(0,1) da −1: falla pseudoconvexidad en el borde interior.
El sentido de ρ<0 determina el signo pertinente.
Es coherente con Hartogs: todas las holomorfas de esta corona se extienden a la bola mayor.
9. En una variable el tangente complejo del borde tiene dimensión cero
Para n=1, el tangente complejo de una frontera regular tiene dimensión n−1=0. El criterio tangencial no impone curvatura real positiva. Concuerda con que todo dominio plano sea pseudoconvexo y de holomorfía. La restricción de curvatura compleja tangencial adquiere contenido a partir de varias variables.
En dominios pseudoconvexos, los métodos de ∂̄ y sus estimaciones construyen funciones y resuelven problemas analíticos bajo las hipótesis de cada teorema. No garantizan cualquier regularidad hasta la frontera, ni que todo dominio sea biholomorfo a la bola. En puntos débiles pueden necesitarse condiciones adicionales de tipo y degeneración.
El criterio vacío no demuestra convexidad de segmentos
Una corona 1<|z|<2 en C.
Pseudoconvexidad
Es un dominio plano y por tanto pseudoconvexo.
Segmento
Los puntos 3/2 y −3/2 están dentro, pero su punto medio cero no.
Diferencia
No es convexa aunque el criterio complejo tangencial no imponga una dirección negativa.
Una y varias variables tienen comportamientos diferentes.
En C², la corona esférica anterior sí tenía tangentes complejos no nulos que detectaban un signo negativo.
Pseudoconvexo no significa biholomorfo a la bola
Considerar todo C².
Agotamiento
‖z‖² prueba pseudoconvexidad.
Suponer una equivalencia
Cada coordenada de un biholomorfismo a la bola sería una función entera acotada.
Liouville
Sería constante: se aplica el teorema en cada variable. Eso impide que el mapa sea inyectivo.
C² no es biholomorfo a la bola, aunque ambos sean pseudoconvexos.
La propiedad analítica no determina una única forma geométrica global.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Bola en C²
Verifica pseudoconvexidad estricta de la bola unitaria.
Definidora
ρ=|z₁|²+|z₂|²−1 es negativa dentro de la bola y cero en su borde.Regularidad
Su gradiente real es dos veces el vector de coordenadas; no se anula en la esfera unidad.
Levi
Las derivadas mixtas complejas dan la identidad.
Tangente
En cada punto, restringimos a los v con
.Valor
La Levi sigue siendo ‖v‖², positiva para todo tangente no nulo.
Conclusión
La bola tiene frontera estrictamente pseudoconvexa y es pseudoconvexa. El agotamiento −log(1−‖z‖²) también verifica la definición global.
La bola es estrictamente pseudoconvexa.
Se ha verificado también regularidad de la frontera.
EJEMPLO RESUELTO 2
Tangente en un punto
En (1,0) de la esfera unitaria de C², describe vectores complejos tangentes.
Punto
p=(1,0) en la esfera de C².Definidora
ρ=|z₁|²+|z₂|²−1.Derivadas
.Evaluar
En p valen uno y cero.
Ecuación
La tangencia compleja exige v₁+0·v₂=0.Resultado
v=(0, v₂), con v₂ cualquier complejo.La dimensión compleja es uno, distinta de la dimensión real tres del tangente real completo.
Los vectores son (0,v₂).
El espacio tangente complejo tiene dimensión uno.
Los símbolos que hemos usado
- Ω⊂Cⁿ
- Dominio abierto y conexo; las nociones de frontera se estudian en puntos finitos de ∂Ω.
- ψ agotamiento
- Función continua ψ:Ω→R con {ψ≤c} compacto en Ω para cada c real.
- ρ definidora
- Función real C² en una vecindad del borde con Ω={ρ<0}, ∂Ω={ρ=0} y dρ≠0 allí.
- T¹⁰ₚ∂Ω
- Tangente complejo: vectores v∈Cⁿ que cumplen Σρ_zⱼ(p)vⱼ=0.
- Lρ(p;v)
- Forma de Levi Σρ_zⱼz̄ₖ(p)vⱼv̄ₖ; en el criterio de frontera solo se prueba en T¹⁰ₚ∂Ω.
- Pseudoconvexo
- Dominio que admite un agotamiento continuo plurisubarmónico.
- Estrictamente pseudoconvexo en p
- Para borde C², Levi positiva en todos los tangentes complejos no nulos en p, con ρ<0 en el interior.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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