¿Es continua 1/x en x=0?
No está definida allí.
La expresión 1/x exige x≠0, así que no existe f(0) en el enunciado.
Además, al acercarse a cero por la derecha crece sin cota positiva y por la izquierda decrece sin cota negativa.
No cumple los requisitos de continuidad en cero y ningún valor real añadido repararía estos laterales infinitos.
Halla k para que f(x)=x+2 si x≠3 y f(3)=k sea continua.
Iguala al límite.
Para entradas próximas a 3 y diferentes de 3, la fórmula es x+2.
Su límite bilateral es 3+2=5, porque se trata de una función lineal.
La definición asigna f(3)=k; para que valor y límite coincidan se necesita k=5.
Una función tiene laterales 4 y 4, pero f(a)=7. ¿Es continua en a?
Compara valor y límite.
Los dos límites laterales iguales a 4 garantizan un límite bilateral finito 4.
La continuidad exige que ese límite sea también el valor f(a).
Como f(a)=7 y 7≠4, no es continua; la discontinuidad sería evitable asignando 4.
¿Qué valor excluye la continuidad de (x+1)/(x−5) dentro de R?
Busca el cero del denominador.
Una función racional es continua donde su denominador no es cero.
El numerador en 5 vale 6, por lo que no hay factor que elimine esta singularidad: la entrada pedida es 5.
f(x)=x² si x≤2, y 2x+c si x>2. Halla c para continuidad.
Iguala ambos valores en 2.
En la unión x=2 el primer tramo determina f(2)=2²=4 y el límite izquierdo 4.
La igualdad 4+c=4 da c=0, y entonces ambos límites coinciden con f(2).