Continuidad y discontinuidades

En f(x) = 2x − 1, la entrada tres produce cinco y los vecinos de tres producen salidas cercanas a cinco. En ese punto, límite y valor coinciden. La función no pide un salto de altura al llegar al centro.

En un punto interior a del dominio, donde hay vecinos a ambos lados, continuidad equivale a lim cuando x → a de f(x) = f(a). La palabra interior importa: en fronteras del dominio miraremos las entradas que realmente se admiten.

Primero debe estar definido f(a). Después los vecinos deben acercarse a un único límite finito. Por último ese límite debe ser el valor f(a). Que se cumplan solo dos de estas condiciones no basta.

La comparación por izquierda y derecha ayuda: si los límites laterales son distintos, no hay límite bilateral. Si coinciden en L pero f(a) es otro número, hay incompatibilidad solo en el punto. Son problemas distintos y se corrigen de forma distinta.

Para √x en [0; +∞), solo hay vecinos del dominio a la derecha de cero. La continuidad en cero usa ese acercamiento y el valor √0 = 0. No se exige fabricar raíces reales de entradas negativas para comprobar un lado que no pertenece al dominio.

La definición relativa pide que toda entrada del dominio suficientemente cercana tenga salida próxima a f(a). Si a es un punto aislado del dominio, podemos escoger una cercanía que no contenga ningún otro punto del dominio y la continuidad es automática. En ese caso no usamos una afirmación de límite único sin punto de acumulación.

Suma y producto de funciones continuas son continuos. El cociente también donde el denominador no es cero. Una composición es continua en una entrada si la función interior lo es allí y la exterior es continua en la salida correspondiente, respetando los dominios.

Los polinomios son continuos en ℝ. Raíces, logaritmos, trigonométricas y exponenciales tienen sus dominios propios. Decir que una regla es continua en su dominio no significa que esté definida y sea continua en toda la recta.

Un problema evitable tiene un límite finito y se puede completar o corregir el valor del centro para igualarlo. Un salto presenta dos límites laterales finitos distintos. Un comportamiento infinito no admite una extensión continua real por asignar un número al punto.

También puede fallar el límite por oscilación, aunque la función esté acotada. Por eso no reducimos todos los casos a «denominador cero». Si el punto está fuera del dominio original, hablamos de si se puede extender la función a él. El dibujo ilustra el salto de dos piezas que llegan a cuatro y cinco.

En funciones a trozos, cada fórmula se usa solo donde su condición lo indica. En un punto de unión calculamos el límite por izquierda con el tramo izquierdo, por derecha con el derecho y el valor con el tramo que incluye la igualdad.

Si ambos tramos son continuos por separado, igualar sus valores de llegada suele determinar el parámetro. Después comprobamos que el valor asignado en la frontera también coincide. Un cálculo de k no sustituye esa última revisión.

Si f es continua en un intervalo cerrado [a; b], alcanza cualquier valor entre f(a) y f(b). Si los extremos tienen signos opuestos, existe al menos una raíz dentro de (a; b). Esta consecuencia se conoce como teorema de Bolzano.

La continuidad se exige en todo el intervalo, no solo en sus extremos. El teorema afirma existencia, no unicidad ni un valor exacto para la raíz. Un dibujo o aproximación posterior puede ayudar a localizarla, pero es otra parte del cálculo.

Una función continua en [a; b], con extremos reales finitos, alcanza un máximo y un mínimo absolutos. Son valores de la función en puntos del intervalo. No se confunden con una cota que puede no alcanzarse. Es el teorema de Weierstrass para este caso.

Las hipótesis dan una garantía general. Sin ellas una función particular puede seguir teniendo extremos, pero ya no podemos concluirlo solo por el teorema. Mirar las fronteras abiertas o un dominio sin cota puede revelar valores que se aproximan sin llegar a alcanzarse.

Una curva puede ser continua y tener una esquina. |x| en cero llega a la misma altura por ambos lados, pero la recta izquierda tiene pendiente −1 y la derecha +1. La continuidad controla valores próximos; la derivada estudiará la tasa de cambio local.

Las alturas llegan a cuatro y el valor en dos es cuatro: hay continuidad. Las pendientes uno y dos son distintas. Más adelante separaremos con precisión continuidad y derivabilidad.