Un límite pregunta por las salidas cercanas, pero en una función continua podemos obtenerlo evaluando en el punto. Ese es el motivo de la sustitución directa. Vamos a comprobar cuándo se permite y a hacer cada operación por separado: potencias, signos, numerador y denominador.
Si necesitas repasar:
1. Primero leemos la entrada estudiada y comprobamos que la regla permite acercarse
Si es continua en a, el límite coincide con f(a). Sustituir funciona por esa propiedad, no porque el concepto de límite sea siempre poner x igual a a.
También miramos el dominio: tiene que haber entradas vecinas del dominio que se acerquen al punto. Un cociente con denominador no nulo, un polinomio y las operaciones continuas correspondientes permiten el método. Si alguna condición falla, estudiamos qué ocurre en vez de forzar una división.
Lectura antes de operar
Halla el límite de 4x + 2 cuando x → 1.
Punto de entrada
Uno.
Tipo de regla
Polinomio, continuo en uno.
Sustituimos
4 · 1 + 2 = 6.
El límite es seis.
La justificación es continuidad de la regla en el punto.
Una entrada fuera de la zona real
Se propone estudiar √(x − 3) cuando x → 2 en los reales. ¿Sirve sustituir?
Dominio
x ≥ 3.Cercanía al dos
No hay entradas del dominio arbitrariamente cercanas a dos.
Decisión
No hay un límite real relativo a ese dominio con el punto dos como punto de acumulación.
La sustitución no es un método aplicable aquí.
El problema no se arregla escribiendo una raíz real de −1.
2. En polinomios sustituimos y respetamos el orden de operaciones
Los polinomios son continuos en todos los reales. Para hallar su límite en un punto finito, evaluamos sus términos: primero potencias, después productos y finalmente sumas o restas. Una constante se conserva.
No eliminamos la letra en un término y la dejamos en otro. Si x aparece varias veces, todas las apariciones se evalúan en la misma entrada. El valor exacto obtenido es el límite.
Tres términos
Halla el límite de x³ − 2x + 5 cuando x → −1.
Sustitución completa
(−1)³ − 2(−1) + 5.
Potencia y producto
−1 + 2 + 5.
Suma
Seis.
6.
El cubo de menos uno es negativo; el término −2x se vuelve positivo.
Una constante también tiene límite
Halla el límite de 7 cuando x → 100.
Regla
La salida siempre es siete.
Vecinos de cien
Todos producen la misma salida.
Resultado
Siete.
7.
No se multiplica siete por cien: no aparece ninguna x en la expresión.
3. En un cociente calculamos arriba y abajo por separado
Si numerador y denominador son continuos y el denominador no se anula en a, el cociente también es continuo allí. Entonces dividimos sus valores en a. Separar las dos cuentas permite revisar signos y evita sumar términos de lados distintos de la barra.
El dibujo usa (2x + 3)/(x² + 1) cerca de uno. Arriba se llega a cinco; abajo a dos. La altura cinco medios sale del cociente de esos dos límites, con denominador permitido.
Arriba cinco, abajo dos
Halla el límite de (2x + 3)/(x² + 1) cuando x → 1.
Denominador
1² + 1 = 2 ≠ 0.Numerador
2 · 1 + 3 = 5.Cociente
5/2 = 2,5.
5/2.
Ambas cuentas se hicieron en la misma entrada uno.
Un resultado negativo
Halla el límite de (3x − 1)/(x + 5) cuando x → −2.
Denominador
−2 + 5 = 3 ≠ 0.Numerador
3(−2) − 1 = −7.División
−7/3.
−7/3.
Cerca de −2, el numerador sigue siendo negativo y el denominador positivo.
4. Si el denominador se anula, la división directa deja de decidir
En un cociente conviene revisar primero el denominador. Si da cero, no hay una división real que podamos efectuar en ese punto. La forma 0/0 pide otro análisis; un número no nulo entre cero también exige estudiar lados y signos.
No se transforma una división entre cero en un número por convenio. Un cociente puede tener límite finito, crecer sin cota o comportarse de forma distinta a cada lado. La condición del denominador evita decidir antes de estudiar.
Una cuenta que se debe detener
¿Permite la sustitución directa dividir (x² − 9)/(x − 3) en x → 3?
Abajo
3 − 3 = 0.Arriba
3² − 9 = 0.Diagnóstico
0/0 no es un cociente real; la regla directa no da el límite.
No: habrá que transformar o estudiar los vecinos.
Factorizar permitirá resolverlo después, sin afirmar que se haya evaluado la fracción en tres.
Signos opuestos cerca de un denominador cero
Estudia por qué no basta sustituir en 1/(x − 3) cuando x → 3.
Derecha
x − 3 es positivo y tan pequeño como queramos: el cociente crece sin cota.
Izquierda
El denominador es negativo y pequeño en módulo: el cociente baja sin cota.
Conclusión
No hay un único límite bilateral, y 1/0 no es un valor real.
La sustitución no define una respuesta.
Las dos direcciones explican lo que ocurre cerca del punto.
5. Una entrada negativa se escribe entera entre paréntesis
Un signo menos que ya estuviera delante de x² sigue fuera: −x² se vuelve −(−2)² = −4.
Los productos conservan sus signos: −2x en x = −2 vale −2(−2) = 4. Escribir la sustitución completa antes de operar permite distinguir el signo propio de un coeficiente del signo de la entrada.
Potencia y producto negativos
Halla el límite de 3x² − 2x + 1 cuando x → −2.
Sustituimos
3(−2)² − 2(−2) + 1.
Potencia
(−2)² = 4.Productos y suma
12 + 4 + 1 = 17.
17.
El término −2x se hizo positivo porque multiplica dos negativos.
El menos exterior no entra en el cuadrado
Compara los límites de −x² + 3x y (−x)² + 3x cuando x → −2.
Primera
−(−2)² + 3(−2) = −4 − 6 = −10.Segunda
[−(−2)]² + 3(−2) = 4 − 6 = −2.Diferencia
En una, el menos está fuera del cuadrado; en otra forma parte de la base.
−10 y −2.
Los paréntesis indican qué se eleva al cuadrado.
6. Cero en el numerador puede ser una respuesta perfectamente válida
Si el numerador tiende a cero y el denominador a un número no nulo, la regla del cociente da cero. Por ejemplo, cero entre tres es cero. Lo que impide dividir es que el denominador sea cero, no que aparezca un cero en cualquier parte.
La forma 0/0 no determina una respuesta única. Para x ≠ 0, x/x vale uno y x²/x vale x: ambos darían 0/0 al sustituir en cero, pero sus límites son distintos. La transformación debe estudiarse en los vecinos permitidos.
Cero sobre un número permitido
Halla el límite de (x² − 4)/(x + 1) cuando x → 2.
Denominador
2 + 1 = 3 ≠ 0.Numerador
4 − 4 = 0.Cociente válido
0/3 = 0.
0.
No se necesita factorizar para que el numerador deje de ser cero.
Dos ceros sobre cero, dos comportamientos
Compara x/x y x²/x para x ≠ 0 cuando x → 0.
Primera regla vecina
x/x = 1, límite uno.Segunda
x²/x = x, límite cero.Diagnóstico compartido
La sustitución inicial producía 0/0 en las dos, sin decidir sus límites.
Límites 1 y 0, respectivamente.
0/0 no se ha definido como ninguno de esos números.
7. Una fracción o un radical exacto puede ser el resultado final
Una respuesta como 3/7 conserva el valor exacto.
No es necesario continuar hasta un decimal finito ni modificar los números para que la división sea exacta en pocas cifras.
Las raíces también pueden quedar en una respuesta exacta. Si se usan, comprobamos su dominio y las otras operaciones. Después revisamos signo y tamaño para detectar errores grandes sin confundir esa revisión con la demostración.
Una fracción no terminante
Halla el límite de (2x + 1)/(x + 6) cuando x → 1.
Denominador
Siete, no nulo.
Numerador
Tres.
Resultado
3/7 ≈ 0,429.
El valor exacto es 3/7.
Es positivo y menor que uno porque arriba tres es menor que abajo siete.
Un resultado con raíz
Halla el límite de √(x + 5)/(x + 1) cuando x → 2.
Dominio cerca de dos
El radicando es positivo y el denominador no se anula.
Evaluamos piezas
√7 y tres.
Cociente
√7/3.
√7/3.
Como √7 es menor que tres, el resultado está entre cero y uno.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Comprobar, sustituir y dividir
Halla el límite de (3x + 1)/(x + 2) cuando x → 2.
Qué estudiamos
Las salidas del cociente cerca de la entrada dos.
Denominador
2 + 2 = 4 ≠ 0; la regla racional es continua allí.Numerador
3 · 2 + 1 = 7.Cociente
7/4 = 1,75.Comprobación
Cerca de dos, ambas partes son positivas y el cociente sigue cerca de ese valor.
El límite es 7/4 = 1,75.
Cerca de 2, el numerador y el denominador son positivos; el signo positivo y el tamaño cercano a 1,75 son coherentes.
EJEMPLO RESUELTO 2
Conservar cada signo con entrada negativa
Halla el límite de (2x − 3)/(x + 4) cuando x → −1.
Denominador primero
−1 + 4 = 3 ≠ 0.Sustitución con signo
El numerador es 2(−1) − 3.
Numerador
−2 − 3 = −5.Cociente y límite
−5/3.
Comprobamos
Numerador negativo cerca de −1 y denominador positivo cerca de tres: signo negativo coherente.
El límite es −5/3.
Cerca de −1, arriba seguimos cerca de −5 y abajo cerca de 3. El signo negativo no es un accidente de la cuenta.
Los símbolos que hemos usado
- a
- Punto al que acercamos la entrada x.
- P(x) / Q(x)
- Cociente de polinomios: P es el numerador y Q el denominador.
- Q(a)
- Resultado de sustituir la entrada a solo en el denominador.
- ≠ 0
- Distinto de cero: condición necesaria para dividir en este método.
- Continuidad en a
- La función está definida en a y sus valores vecinos se acercan precisamente a f(a).
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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