Halla la pendiente de la tangente de x³ en x=2.
Deriva y evalúa.
La pendiente de una tangente a x³ en una entrada a es el valor de su derivada en a.
Halla la entrada del mínimo de x²−6x+10.
Anula la derivada y comprueba el signo.
La primera derivada de x²−6x+10 es 2x−6.
Al igualar a cero obtenemos x=3; la segunda derivada constante 2 es positiva.
Es un mínimo absoluto porque la función también se escribe (x−3)²+1, y la entrada pedida es 3.
Halla el valor mínimo de esa función.
Evalúa en x=3.
El cuadrado es no negativo y toma su menor valor, cero, cuando x=3.
El valor mínimo de la función es por tanto 0+1=1; se pide la salida y no la entrada.
Calcula f″(2) para f(x)=x³.
Deriva dos veces.
La primera derivada de x³ es 3x² y hay que derivar una segunda vez.
La segunda derivada es f″(x)=6x, que describe cómo cambia la pendiente.
Evaluamos la segunda derivada en la entrada pedida x=2 y obtenemos f″(2)=6·2=12.
¿Todo punto con f′(a)=0 es extremo local?
Considera x³.
La condición f′(a)=0 identifica un candidato interior, pero no clasifica su comportamiento.
Para f(x)=x³, f′(0)=0 y los valores pasan de negativos a positivos al atravesar cero.
La función sigue creciendo y no tiene extremo en cero; por eso la respuesta es no.