Tangentes, crecimiento, curvatura y optimización

En la entrada a, el punto de contacto es (a,f(a)) y la pendiente es f′(a).

El punto y la pendiente proceden de cálculos diferentes, aunque sus números puedan coincidir.

Una tangente puede cortar la curva y aproximarla solo cerca del contacto. La normal es la recta perpendicular a la tangente: si la pendiente m es distinta de cero, su pendiente es −1/m. Si la tangente es horizontal, la normal es vertical.

Si f′>0 en todo un intervalo, la función es estrictamente creciente allí.

Con f′≥0 obtenemos que no decrece; puede contener partes constantes. El signo de f habla de altura; el de f′, de cambio.

Para construir intervalos, encontramos ceros de la derivada y lugares donde la función o su derivada dejan de existir. Después justificamos el signo en cada tramo. El teorema del valor medio respalda la conclusión en intervalos con las hipótesis de continuidad y derivabilidad; no une automáticamente dos trozos separados del dominio.

En un máximo local, las salidas suficientemente cercanas no superan la del punto. En un mínimo local, no bajan de ella. Absoluto exige esa comparación con todas las entradas permitidas. Indicamos si usamos la versión no estricta; en una meseta hay máximos y mínimos locales no estrictos.

Fermat dice: si hay un extremo local interior y f es derivable ahí, su derivada vale cero. No dice lo contrario. Una esquina, un punto de frontera o un lugar sin derivada requieren atención aunque no satisfagan f′=0.

Si f′ pasa de positiva a negativa, la curva sube hasta el punto y baja después: máximo local. Si pasa de negativa a positiva, mínimo local. Con el mismo signo a ambos lados no hay ese cambio de marcha; f′(a)=0 por sí sola no decide.

También sirve el criterio de la segunda derivada: en un punto estacionario a, si f″ es continua cerca y f″(a)>0 hay mínimo; si f″(a)<0 hay máximo.

Podemos volver a los signos o comparar valores.

Si las pendientes aumentan, la curva es convexa, también llamada cóncava hacia arriba. Si disminuyen, es cóncava hacia abajo. Donde existe segunda derivada, f″>0 asegura la primera forma y f″<0 la segunda. Una curva puede bajar y tener pendientes cada vez menos negativas.

Un punto de inflexión de una curva continua exige cambio de concavidad al atravesarlo. Un cero de f″ es solo un candidato, igual que un cero de f′ lo era para extremos. Una entrada excluida del dominio no es un punto de inflexión de la gráfica.

Una función continua en [a,b] alcanza máximo y mínimo absolutos. Si localizamos todos los puntos críticos interiores, basta comparar sus valores con f(a) y f(b). Crítico incluye un cero de la derivada y un punto donde no existe, siempre que la función esté definida allí.

La garantía requiere continuidad, intervalo cerrado y acotado. Si se pierde alguna condición puede seguir habiendo extremos, pero ya no está asegurado. En dominios abiertos o ilimitados debemos estudiar además el comportamiento al acercarnos a sus fronteras o al infinito.

En optimización definimos qué representa cada letra, qué relación impone el problema y qué cantidad queremos hacer máxima o mínima. La restricción no es el objetivo. Una ecuación puede permitir escribir una variable en función de otra y construir un modelo de una sola entrada.

Las entradas permitidas se fijan antes de resolver: longitudes positivas, capacidad disponible o valores enteros. Después obtenemos candidatos y justificamos que el elegido gana frente a todos los casos admisibles. La conclusión debe responder con las cantidades y unidades pedidas.

Resolver una versión continua ayuda a localizar una buena zona, pero no convierte un resultado decimal en una decisión entera admisible. Después comparamos los candidatos enteros pertinentes, o usamos una desigualdad que descarte todos los demás.

Al revisar un estudio gráfico separamos f, f′ y f″: altura, pendiente y cambio de pendiente. Revisamos el dominio antes de llamar a una entrada extremo o inflexión. Una tabla clara acompaña al razonamiento y permite detectar si falta una frontera.