Monotonía, extremos y curvatura

Si siempre obtenemos una desigualdad estricta, es estrictamente creciente. Para no creciente y estrictamente decreciente se invierte la comparación de salidas.

Una función puede crecer y seguir teniendo valores negativos. El estudio mediante derivadas se hace en intervalos: para comparar dos entradas con el valor medio necesitamos continuidad entre ellas y derivabilidad en el interior. Un hueco puede impedir esa comparación.

Si f′>0 en un intervalo, la función es estrictamente creciente; si f′<0, estrictamente decreciente.

Es consecuencia de que la pendiente entre dos puntos es alguna derivada intermedia.

Primero localizamos fronteras, ceros y puntos donde f′ no existe. Después justificamos el signo en cada tramo. Un punto de prueba sirve si ya sabemos que el signo no puede cambiar allí sin pasar por otro cero o singularidad.

Un mínimo local tiene una altura no mayor que las alturas suficientemente cercanas del dominio; un máximo local, no menor. Si es un punto interior y la función es derivable allí, la condición de Fermat exige f′(a)=0.

La condición es necesaria bajo esas hipótesis, pero no suficiente. También hay que revisar esquinas donde no exista derivada y extremos del dominio. Resolver solo f′=0 puede perder soluciones y puede producir candidatos que no sean extremos.

Con continuidad en el punto, pasar de f′ positiva a negativa da máximo local; pasar de negativa a positiva da mínimo local. Si no cambia de signo, ese patrón no produce un giro. Es un criterio suficiente, no una definición que excluya mesetas.

Si f′(a)=0 y f″(a)>0, con regularidad alrededor, hay mínimo local; si f″(a)<0, máximo.

Para una función Cⁿ, con las derivadas de órdenes uno hasta n−1 nulas y la de orden n no nula, Taylor clasifica: orden n par da extremo por su signo; orden impar no da extremo.

Una función continua en un intervalo cerrado y acotado alcanza máximo y mínimo absolutos. Para encontrarlos comparamos los valores de los candidatos interiores y los dos extremos del intervalo.

En un intervalo abierto o no acotado puede haber una cota que nunca se alcance. Un límite de frontera no es un punto del dominio. Un extremo local también puede quedar superado por alturas lejanas.

Llamamos convexa o cóncava hacia arriba a una función cuya gráfica queda por debajo de las cuerdas que unen dos puntos suyos.

Para funciones derivables equivale a pendientes no decrecientes. Con dos derivadas, f″≥0 garantiza esa convexidad y f″≤0 concavidad hacia abajo. El signo de f″ no decide si f crece: una pendiente puede ser positiva y estar disminuyendo.

Un punto de inflexión requiere que la función sea continua allí y que cambie la concavidad. Los ceros de f″ o sus puntos de inexistencia son candidatos, no respuestas. Una entrada fuera del dominio no es un punto de inflexión de su gráfica.

Para una gráfica C² con coordenadas compatibles, la magnitud de curvatura es . Mide giro de tangente por longitud recorrida: no es simplemente f″ ni conserva su signo. Un cero aislado de f″ tampoco impide convexidad estricta, como en x⁴.

Un estudio completo empieza por el dominio. En él se marcan fronteras y candidatos; después se añaden los signos de f′ y f″, las alturas de los puntos relevantes y los límites de los extremos.

La gráfica final debe ser compatible con esa tabla. No unimos ramas a través de singularidades ni llamamos absoluto a un giro solo porque sea el más alto que aparece en una ventana de pantalla.