En 1/(x(x+2))=A/x+B/(x+2), calcula A.
Multiplica denominadores y toma x=0.
Al multiplicar la descomposición por x(x+2) se obtiene la identidad polinómica 1=A(x+2)+Bx.
Ahora sí se puede evaluar x=0 en esa identidad, aunque la fracción original no esté definida allí.
Calcula ∫₁²1/x²dx.
Una primitiva es −1/x.
Evaluamos la diferencia de extremos: −1/2−(−1).
El resultado es 1/2, positivo como el integrando en ese intervalo.
Calcula ∫₀¹1/(1+x²)dx.
La primitiva es arctan x.
La fórmula inmediata ∫dx/(1+x²)=arctan x es válida en todos los reales.
Evaluamos arctan1−arctan0, con ángulos en radianes.
Los valores son π/4 y 0, de modo que la integral vale π/4.
Descompón 1/(x−1)² en el esquema de fracciones simples y explica qué términos permite el método.
Un factor doble exige A/(x−1)+B/(x−1)².
Un factor lineal repetido dos veces exige el esquema A/(x−1)+B/(x−1)².
Multiplicar por (x−1)² da 1=A(x−1)+B, por lo que comparar coeficientes produce A=0 y B=1.
Que el término simple sea cero en este caso no permite omitirlo del esquema general de un factor doble.
Integra (2x+1)/(x²+x+1).
Compara el numerador con la derivada del denominador.
Además Q=(x+1/2)²+3/4>0 para todo real, así que no hay polos reales ni necesidad de valor absoluto.
Una primitiva es ln(x²+x+1)+C; la cadena da (2x+1)/(x²+x+1) al comprobar.