Una fracción de polinomios puede esconder una suma de piezas sencillas. Primero revisaremos qué valores excluye, después separaremos cualquier parte polinómica y finalmente construiremos las fracciones que sí sabemos integrar. Cada igualdad se podrá comprobar recombinando.
Si necesitas repasar:
1. El dominio se fija antes de simplificar
Una función racional P/Q, con Q polinomio no nulo, excluye las raíces reales de Q. Cancelar un factor puede simplificar la cuenta, pero no devuelve al dominio los puntos excluidos originalmente.
Integramos en intervalos que eviten esos puntos, con una constante por componente. Todas las racionales tienen primitivas elementales allí mediante división y factorización real, aunque el álgebra pueda ser larga. No se integran numerador y denominador por separado para formar su cociente.
Un hueco que sigue excluido
∫(x²−4)/(x−2)dx.
Dominio original
x≠2.Simplificar
En ese dominio el cociente es x+2.
Primitiva
x²/2+2x+C, con constantes que pueden diferir en los dos intervalos.
La simplificación no impone un valor en dos.
La fórmula de la primitiva puede extenderse, pero el integrando original conserva su hueco.
El cociente de primitivas no es la regla
¿∫1/x dx se obtiene dividiendo x entre x²/2?
Atajo propuesto
Ese cociente sería 2/x.
Comprobar
Su derivada es −2/x², no 1/x.
Primitiva correcta
ln|x|+C en cada lado de cero.
Integrar una fracción no se reparte como un cociente.
La derivada es la prueba, no la apariencia del resultado.
2. Dividir primero si el numerador tiene grado mayor o igual
Integramos S por potencias y estudiamos solo la fracción propia restante.
También miramos si una parte del numerador es proporcional a Q′. La razón Q′/Q se integra como ln|Q|. Reconocerla puede evitar una descomposición larga, siempre que el coeficiente sea correcto.
Comprobar la división antes de integrar
∫(x²+2)/(x−1)dx.
División
x²+2=(x+1)(x−1)+3.Separar
El cociente es x+1+3/(x−1), con x≠1.Integrar
x²/2+x+3ln|x−1|+C.
El resto tres no se pierde.
Multiplicar cociente por divisor y sumar resto recupera x²+2.
Un logaritmo sin fracciones parciales
∫(4x+2)/(x²+x+2)dx.
Comparar
Q′=2x+1; el numerador es dos veces Q′.Reconocer
El integrando es 2Q′/Q.
Resultado
2ln(x²+x+2)+C; Q=(x+1/2)²+7/4>0.
Una sustitución inmediata resuelve la fracción.
El factor dos se conserva.
3. El esquema deja sitio a todas las potencias necesarias
Sobre los reales factorizamos en lineales y cuadráticos irreducibles, que tienen discriminante negativo. Un lineal repetido m veces aporta A₁/(x−r) hasta Aₘ/(x−r)ᵐ. Cada numerador es constante.
Un cuadrático Q repetido m veces aporta (A₁x+B₁)/Q hasta (Aₘx+Bₘ)/Qᵐ. Los numeradores son lineales porque su grado debe ser menor que dos. Algunos coeficientes pueden salir cero, pero no los borramos del esquema antes de calcular.
Un lineal doble y otro simple
Escribir el esquema para 1/[(x−1)²(x+2)].
Factor repetido
Necesita A/(x−1)+B/(x−1)².
Factor simple
Añadimos C/(x+2).
Identidad a resolver
La suma completa debe igualar la fracción original fuera de sus polos.
Hay tres coeficientes por determinar.
Omitir la potencia primera del factor doble restringiría indebidamente la identidad.
Un cuadrático doble
Esquema para 1/[(x²+1)²(x−3)].
Lineal
A/(x−3).
Cuadrático
(Bx+C)/(x²+1)+(Dx+E)/(x²+1)².
Sumar
Todas esas piezas forman el esquema, incluso si después alguna constante se anula.
Se necesitan cinco coeficientes posibles.
x²+1 es irreducible real porque su discriminante es negativo.
4. Los coeficientes salen de una identidad polinómica
Multiplicamos por el denominador común y exigimos igualdad de los polinomios. Comparar coeficientes da un sistema lineal para las constantes.
También podemos sustituir raíces del denominador después de eliminarlo: la identidad polinómica tiene sentido allí. Eso no significa evaluar la fracción original en un polo. Con repeticiones suelen hacer falta más ecuaciones.
Dos factores distintos
Descomponer 2/[x(x+2)].
Esquema
A/x+B/(x+2).
Al multiplicar: 2=A(x+2)+Bx.Aislar
En x=0 sale A=1; en x=−2 sale B=−1.Comprobar
1/x−1/(x+2)=2/[x(x+2)].
Las constantes son uno y menos uno.
Las sustituciones se hicieron en la identidad sin denominadores.
Una repetición exige una ecuación adicional
Descomponer 1/[x(x−1)²].
Identidad
1=A(x−1)²+Bx(x−1)+Cx.Raíces
En cero da A=1; en uno da C=1.Coeficiente cuadrático
A+B=0, luego B=−1.El coeficiente lineal también se anula.
1/x−1/(x−1)+1/(x−1)².
En x=2 la suma es un medio, igual que la fracción inicial.
5. Cada factor lineal da un logaritmo o una potencia
.El punto −b/a sigue excluido y las constantes pertenecen al intervalo en que trabajamos.
Un factor lineal con pendiente dos
∫3/(2x−1)dx.
Interior
u=2x−1 y du=2dx.Compensar
Queda (3/2)∫du/u.
Volver
(3/2)ln|2x−1|+C.
El factor tres medios evita duplicar la derivada.
La fórmula vale en cada lado de x=1/2.
Una potencia repetida sin logaritmo
∫5/(3x+2)²dx.
Interior
u=3x+2, dx=du/3.Potencia
(5/3)∫u⁻²du=−5/(3u)+C.Volver
−5/[3(3x+2)]+C.
La primitiva es una potencia, porque el exponente no es menos uno.
Su derivada es 5/(3x+2)² donde x≠−2/3.
6. En el cuadrático, separar su derivada y completar el cuadrado
La primera pieza es proporcional a Q′ y produce un logaritmo. La segunda es una constante sobre Q.
El cuadrático mónico es positivo, así que ln Q no necesita valor absoluto.
Una parte logarítmica y otra de arctangente
∫(3x−4)/(x²−4x+8)dx.
Separar el numerador
Q′=2x−4 y 3x−4=(3/2)Q′+2.Completar
Q=(x−2)²+4, así que ∫dx/Q=(1/2)arctan((x−2)/2).Reunir
(3/2)ln Q+arctan((x−2)/2)+C.
Válida en todo ℝ porque Q≥4.
La derivada del arctangente aporta dos entre Q, la pieza restante.
Solo la pieza de arctangente
∫dx/(x²+6x+13).
Cuadrado
x²+6x+13=(x+3)²+4.Escala
u=(x+3)/2, dx=2du; el denominador es 4(1+u²).Integrar
(1/2)arctan((x+3)/2)+C.
El divisor dos procede de la escala, no del grado del polinomio.
Derivar recupera exactamente el denominador original.
7. Los cuadráticos repetidos también tienen un procedimiento
Para (Ax+B)/Qᵏ separamos otra vez una parte con Q′.
Después de completar el cuadrado queda una constante multiplicando 
.
.Sale de derivar u/(u²+s²)ᵏ⁻¹: obtenemos 2(k−1)s²/(u²+s²)ᵏ−(2k−3)/(u²+s²)ᵏ⁻¹.
La primera reducción
∫dx/(1+x²)².
Parámetros
u=x, s=1 y k=2.Aplicar la recurrencia
J₂=x/[2(1+x²)]+J₁/2.Terminar
x/[2(1+x²)]+arctanx/2+C.
La derivada de las dos piezas suma 1/(1+x²)².
La potencia baja de dos a uno.
Separar una derivada antes de reducir
∫(2x+3)/(1+x²)²dx.
Primera parte
2x/(1+x²)² tiene primitiva −1/(1+x²), por sustitución.
Segunda
Queda tres veces el J₂ anterior.
Reunir
−1/(1+x²)+3x/[2(1+x²)]+(3/2)arctanx+C.
No queda ningún tipo de pieza sin resolver.
La separación de numerador y la reducción cumplen tareas distintas.
La escala s también importa
∫du/(u²+4)².
Datos
s=2, s²=4 y k=2.Recurrencia
u/[8(u²+4)]+J₁/8.
Caso base
J₁=(1/2)arctan(u/2).
u/[8(u²+4)]+arctan(u/2)/16+C.
Usar la fórmula con s=1 daría coeficientes incorrectos.
8. Comprobar la suma y no saltar polos al evaluar
Sumamos parte polinómica y primitivas de todas las piezas, con una C por intervalo. Primero podemos verificar la identidad de fracciones y después derivar la primitiva completa.
En un intervalo sin polos, una integral definida se evalúa por extremos. Si aparece una singularidad dentro o en la frontera, se estudian límites impropios por cada lado. Los valores absolutos de los logaritmos no permiten cancelar divergencias.
Una evaluación en un intervalo permitido
∫₁²2/[x(x+2)]dx.
Sin polos
Las exclusiones son cero y menos dos, fuera de [1,2].
Primitiva
ln|x|−ln|x+2|.
Evaluar
ln(2/4)−ln(1/3)=ln(3/2).
El resultado es positivo, como el integrando.
Las constantes se cancelan.
La evaluación directa a través de cero falla
∫ de −1 a uno de 1/x².
Advertencia
Hay un polo interior; no usamos −1/x de extremo a extremo.
Lado derecho
∫ de ε a uno de 1/x² es 1/ε−1, que diverge a +∞.
Conclusión
Ya una parte positiva diverge; la integral impropia ordinaria no es finita.
La resta formal de extremos habría dado −2, imposible para esta área positiva.
Se revisa la integrabilidad antes de aplicar la fórmula de evaluación.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Dos factores lineales
Integra 1/(x(x+1)).
Dominio
Se excluyen x=0 y x=−1; trabajamos por intervalos.Esquema
1/[x(x+1)]=A/x+B/(x+1).Eliminar denominadores
1=A(x+1)+Bx como identidad polinómica.Coeficientes
En cero sale A=1; comparar el coeficiente de x da B=−1.Integrar cada pieza
ln|x|−ln|x+1|+C.
Comprobar
La derivada es 1/x−1/(x+1)=1/[x(x+1)] en el dominio original.
log|x|−log|x+1|+C.
La derivada combina 1/x−1/(x+1)=1/(x(x+1)).
EJEMPLO RESUELTO 2
Grado demasiado grande
Integra (x²+1)/x para x≠0.
Dominio y grados
x≠0; el numerador tiene mayor grado.Dividir término a término
(x²+1)/x=x+1/x.Primera pieza
∫x dx=x²/2.Excepción de potencia
∫1/x dx=ln|x| en cada componente.Reunir
x²/2+ln|x|+C, con constantes independientes si se consideran ambos lados.
Verificar
La derivada es x+1/x=(x²+1)/x; no se ha rellenado cero.
x²/2+log|x|+C.
Derivar devuelve x+1/x.
Los símbolos que hemos usado
- P(x)/Q(x)
- Cociente de polinomios, con Q no nulo como polinomio y Q(x)≠0 en el dominio.
- Fracción propia
- Cociente cuyo numerador tiene grado menor que el denominador.
- r
- Raíz real que produce un factor lineal x−r.
- A,B
- Coeficientes constantes desconocidos en una descomposición.
- Q₀=x²+px+q
- Factor cuadrático mónico irreducible real, con p²−4q<0.
- Jₖ
- Primitiva de 1/(u²+s²)ᵏ, con s>0.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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