EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Calcula ∫₀¹3x²e^(x³)dx.
- PISTA 1
Una pista
Toma u=x³.
Un desarrollo posible.
Con u=x³, su diferencial es du=3x²dx y transforma todo el factor exterior.
Los extremos x=0 y x=1 pasan a u=0 y u=1, respectivamente.
La integral es ∫₀¹eᵘdu=e¹−e⁰=e−1.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Calcula ∫₀¹2x(1+x²)dx.
- PISTA 1
Una pista
u=1+x² da límites 1 y 2.
Un desarrollo posible.
Tomamos u=1+x² y du=2x dx, por lo que el integrando se convierte en u du.
Los límites originales 0 y 1 pasan a 1 y 2.
Evaluamos ∫₁²u du=[u²/2]₁²=(4−1)/2=3/2.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Calcula ∫₀^(π/2)sin x cos x dx.
- PISTA 1
Una pista
Toma u=sin x.
Un desarrollo posible.
Elegimos u=sin x, con du=cos x dx y argumentos en radianes.
En x=0, u=0 y en x=π/2, u=1; la integral se convierte en ∫₀¹u du.
La evaluación de la primitiva en los extremos nuevos es [u²/2]₀¹=1/2−0=1/2, que conserva el valor de la integral original.
EJERCICIO 4 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 4.
Integra x/(1+x²).
- PISTA 1
Una pista
La derivada del denominador es 2x.
Un desarrollo posible.
La derivada de 1+x² es 2x, el doble del factor x que aparece en el numerador.
Escribimos la integral como (1/2)∫2x/(1+x²)dx y tomamos u=1+x².
Obtenemos (1/2)ln(1+x²)+C, sin valor absoluto necesario porque 1+x²>0 en todos los reales.
EJERCICIO 5 / 5Razonamiento · revisión personal
Tu reto 5.
Explica el error de cambiar u=x² y conservar límites 0 y 2 en ∫₀²2x e^(x²)dx.
- PISTA 1
Una pista
Calcula u en ambos extremos.
Un desarrollo posible.
Si u=x², cada límite debe interpretarse con esa misma relación: x=0 da u=0 y x=2 da u=4.
El diferencial es du=2x dx, así que la integral correcta es ∫₀⁴eᵘdu.
El valor es e⁴−1; conservar el límite superior 2 en la variable u produciría e²−1 y resolvería otra integral.