Un cambio de variable pone un nombre corto a un bloque y sigue también cómo cambia ese bloque. La idea es convertir una integral complicada en una conocida. No cambiaremos solo una letra: comprobaremos el factor que acompaña al diferencial y después regresaremos a la pregunta original.
Si necesitas repasar:
1. La cadena leída al revés
Por tanto, una primitiva de f(g(x))g′(x) es F(g(x)). Escribimos u=g(x) para reconocer la integral más sencilla ∫f(u)du.
Una versión suficiente supone g con derivada continua en el intervalo y f continua en otro intervalo que contenga su imagen. El cambio representa una identidad entre funciones y sus tasas; no una aproximación.
Un seno con su derivada interior
∫3x²sin(x³+1)dx.
Interior
u=x³+1 y du=3x²dx.Integral nueva
∫sin u du=−cosu+C.Regresar
−cos(x³+1)+C.
La derivada devuelve 3x²sin(x³+1).
El signo menos viene de integrar el seno.
La potencia se vuelve una potencia simple
∫2x(x²+2)³dx.
Nombrar
u=x²+2; el bloque 2xdx es du.Integrar
∫u³du=u⁴/4+C.Reponer
(x²+2)⁴/4+C.
Se conserva el argumento completo.
La derivada de la cuarta potencia aporta cuatro y la interior dos x.
2. Elegir un bloque exige comprobar su derivada
Una potencia, una raíz, un logaritmo o una exponencial sugieren mirar su argumento. Una fracción sugiere mirar el denominador. Pero la elección solo se justifica al calcular la derivada y compararla con el resto del integrando.
La transformación debe terminar escrita completamente en la nueva variable. Si queda una x, puede que aún falte usar la relación u=g(x), elegir una rama o cambiar de estrategia. Elegir lo más largo no garantiza simplificar.
Un denominador cuya derivada está arriba
∫(2x+4)/(x²+4x+5)dx.
Probar el bloque
u=x²+4x+5, con du=(2x+4)dx.Transformar todo
Queda ∫du/u.
Regresar y dominio
ln(x²+4x+5)+C; el argumento es (x+2)²+1>0.
El cambio está completo sin x sueltas.
La positividad permite omitir el valor absoluto en este caso.
Una raíz con factor proporcional
∫x²√(x³+1)dx en x>−1.
Elegir y comparar
u=x³+1; du=3x²dx, así que x²dx=du/3.Integrar
Un tercio de ∫u^(1/2)du es (2/9)u^(3/2).
Volver
La primitiva se comprueba en el intervalo x>−1.
El factor un tercio no se puede perder.
3. Cambiar el bloque y su diferencial juntos
Si aparece exactamente ese producto, lo reemplazamos directamente; si aparece un múltiplo constante, lo sacamos fuera.
No añadimos una derivada interior ausente sin compensarla. Tampoco necesitamos dividir por g′ en un punto donde se anule si el reconocimiento del bloque completo funciona.
Un factor mayor que el necesario
∫4x(x²+2)³dx.
Diferencial
u=x²+2 da du=2xdx.Compensar
4xdx=2du, así que queda 2∫u³du.Integrar y regresar
u⁴/2+C=(x²+2)⁴/2+C.
El dos exterior conserva el tamaño del integrando.
Al derivar aparece (1/2)·4·2x=4x.
Un factor menor que el necesario
∫xcos(x²)dx.
Diferencial
u=x² y du=2xdx.Agrupar sin dividir por x
xdx es la mitad del bloque 2xdx.
Terminar
(1/2)∫cosu du=sin(x²)/2+C.
Válida también en torno a cero.
El argumento por cadena no ha requerido 1/x.
4. La respuesta indefinida vuelve a la variable pedida
Después de integrar en u sustituimos u=g(x) en la primitiva final y mantenemos C. La comprobación se hace derivando respecto a x, con todas sus capas.
Si aparece ln|u|, el valor absoluto se conserva salvo que el dominio garantice u>0. La sustitución no rellena huecos ni conecta automáticamente constantes de intervalos separados.
Un argumento con dos ceros excluidos
∫2x/(x²−4)dx.
Cambio
u=x²−4, du=2xdx.Integral
∫du/u=ln|u|+C.Respuesta
ln|x²−4|+C en cada intervalo que evita −2 y dos.
Las constantes pueden variar entre las tres componentes.
Derivar da 2x/(x²−4) donde el argumento no es cero.
Un resultado en u todavía es intermedio
∫cos(3x−2)dx.
Cambio
u=3x−2 y dx=du/3.Primitiva intermedia
sin u/3+C.
Volver
sin(3x−2)/3+C.
La respuesta queda en x.
Dejar sin u sin indicar qué significa u no completa la presentación pedida.
5. Con límites nuevos no se mezclan las dos variables
En una integral definida, si u=g(x), los extremos pasan de a,b a g(a),g(b): ∫ₐᵇf(g(x))g′(x)dx=∫ de g(a) a g(b) de f(u)du.
Podemos calcular en u con esos límites nuevos o regresar a x y usar los originales. Los dos caminos coinciden; lo incorrecto es evaluar una primitiva en u con números que todavía representan entradas de x.
Los extremos dejan de ser cero y dos
∫₀²2x/(x²+3)dx.
Cambio y límites
u=x²+3: en cero da tres y en dos da siete; du=2xdx.Integral nueva
∫₃⁷du/u=ln7−ln3.Comprobar en x
La primitiva ln(x²+3) da la misma resta al evaluar dos y cero.
El valor es ln(7/3).
No se evalúa ln u entre cero y dos.
Una sustitución lineal con extremos distintos
∫₁²3(3x−1)²dx.
Cambio
u=3x−1, du=3dx.Extremos
x=1 da u=2; x=2 da u=5.Evaluar
∫₂⁵u²du=(125−8)/3=39.
La integral vale treinta y nueve.
El tres del integrando ya forma parte de du.
6. El signo conserva la orientación; no siempre hace falta una inversa
Si g decrece, los extremos transformados pueden quedar en orden inverso. El diferencial ya contiene el signo correspondiente; si después reordenamos límites, añadimos un solo menos, sin corregir dos veces.
Para el patrón exacto f(g)g′, la identidad por primitivas no exige que g sea inyectiva. Si en cambio necesitamos escribir una función general de x con una inversa, sí hay que elegir una rama válida o dividir el recorrido.
Una ida y vuelta con contribuciones que se cancelan
∫ de −1 a uno de 2xe^(x²)dx.
Imagen del recorrido
u=x² va de uno a cero y después vuelve a uno.Tramos
El primero aporta ∫₁⁰eᵘdu=1−e; el segundo ∫₀¹eᵘdu=e−1.Sumar
Los dos valores se cancelan; también F(1)−F(−1)=e−e.
La integral es cero.
No se ha usado x=√u para todo el intervalo, pues perdería la rama negativa.
Un cambio decreciente
∫₀¹(1−x)²dx.
Cambio
u=1−x; du=−dx.Orientación
Los extremos son uno y cero: −∫₁⁰u²du.
Reordenar una vez
Es ∫₀¹u²du=1/3.
El resultado es positivo.
Cambiar límites y conservar además otro menos daría un error de signo.
7. Invertir un cambio y escoger su rama
También podemos poner x=h(u), transformar cada x y usar dx=h′(u)du. Un cambio lineal es el caso más simple; en raíces pueden ayudar cambios trigonométricos.
Los signos se controlan con el intervalo elegido. En particular √(cos²u)=|cosu|, no cosu para cualquier ángulo. Al regresar, la inversa elegida debe representar el intervalo original.
Una raíz que desaparece con x=u²
∫dx/[√x(1+√x)], con x>0.
Rama
u=√x>0, x=u² y dx=2u du.Transformar todo
El denominador pasa a u(1+u); se simplifica a 2∫du/(1+u).
Regresar
2ln(1+√x)+C.
La elección positiva representa x>0 sin ambigüedad.
El factor u solo se canceló donde u>0.
El signo en una sustitución trigonométrica
∫√(1−x²)dx en −1<x<1.
Rama
x=sinθ, con −π/2<θ<π/2; dx=cosθ dθ y cosθ>0.Raíz y cálculo
√(1−sin²θ)=cosθ.Queda ∫cos²θ dθ=θ/2+sin(2θ)/4+C.Volver
θ=arcsinx y sin(2θ)=2x√(1−x²).
La primitiva es [arcsinx+x√(1−x²)]/2+C.
Sin elegir el intervalo tendríamos que conservar |cosθ|.
8. Comprobar el cambio completo antes de darlo por terminado
Una composición no siempre es inmediata de integrar. El factor interior debe estar presente o poder expresarse de forma útil en la nueva variable. Si no simplifica, podemos probar otro método.
La revisión comprueba variable única, coeficientes, dominio y extremos. Una derivada verifica una primitiva; dos caminos de evaluación comprueban una integral definida. El cambio conserva las unidades totales de la integral, aunque la variable intermedia tenga otra unidad.
Una respuesta que perdió la mitad
Para ∫x/(1+x²)dx se propone ln(1+x²).
Derivar la propuesta
Da 2x/(1+x²), el doble del integrando.
Corregir
Multiplicamos por un medio.
Verificar
La familia correcta es ln(1+x²)/2+C.
La derivada detecta el coeficiente perdido.
No se cambia el argumento para compensar un factor exterior.
Comprobar una integral por dos caminos
∫₀²2xe^(x²)dx.
En u
u=x² lleva los límites a cero y cuatro: ∫₀⁴eᵘdu=e⁴−1.En x
La primitiva es e^(x²); evaluar en dos y cero da e⁴−1.
Detectar la mezcla
Usar límites cero y dos sobre eᵘ habría dado e²−1, otra cantidad.
Ambos caminos correctos coinciden.
Cambiar la letra sin transformar los extremos no basta.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Una exponencial compuesta
Integra 2x e^(x²).
Reconocer la interior
La exponencial recibe x².
Diferencial
u=x² da du=2xdx.Cambiar el bloque completo
∫2xe^(x²)dx=∫eᵘdu.Integrar
eᵘ+C.
Regresar a x
e^(x²)+C.
Comprobar
Su derivada es e^(x²)·2x, exactamente el integrando, incluso en cero.
e^(x²)+C.
Derivar produce e^(x²)·2x.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cambiar también los extremos
Calcula ∫₀¹2x/(1+x²)dx.
Elegir y dominio
u=1+x² es positiva en [0,1].Diferencial
du=2xdx.Transformar extremos
x=0 da u=1; x=1 da u=2.Calcular en u
∫₁²du/u=[lnu]₁².Evaluar
ln2−ln1=ln2, escrito log2 en el enunciado con base natural.
Verificar en x
ln(1+x²) evaluada en uno y cero da la misma respuesta. No queda constante arbitraria.
log 2.
Una primitiva en x es log(1+x²).
Los símbolos que hemos usado
- u=g(x)
- Nueva variable definida a partir de la original.
- du=g′(x)dx
- Notación que recoge el factor derivado del cambio.
- F′(u)=f(u)
- Primitiva del integrando simplificado en la variable u.
- a,b
- Extremos originales expresados como valores de x.
- g(a),g(b)
- Extremos transformados expresados como valores de u.
- C
- Constante arbitraria de una primitiva.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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