lim(x→0)sin x/x.
Comprueba 0/0 y deriva.
En radianes, sin x y x tienden a cero y son derivables cerca de cero.
La derivada del denominador es 1≠0; el cociente derivado es cos x/1.
Su límite es 1 y L’Hôpital da el mismo valor para sin x/x, con las derivadas trigonométricas ya establecidas.
lim(x→0)(1−cos x)/x².
Tras una aplicación sigue habiendo 0/0.
El cociente (1−cos x)/x² es 0/0 y la derivada 2x del denominador no se anula para x≠0.
Una aplicación da sin x/(2x), otra forma 0/0 con derivada de denominador constante 2≠0.
La segunda aplicación produce cos x/2→1/2, por lo que el límite original es 1/2.
lim(x→∞)x/e^x.
∞/∞ se transforma en 1/e^x.
Al crecer x, tanto x como eˣ tienden a +∞ y son derivables.
La derivada del denominador eˣ es positiva, así que se puede usar la regla y obtener 1/eˣ.
Ese cociente tiende a cero y por tanto lim x/eˣ=0.
¿Puedes aplicar L’Hôpital a lim(x→1)(x²+1)/(x+1)?
Comprueba primero si es indeterminación.
No es una forma 0/0 ni ∞/∞, así que la regla no está justificada.
La continuidad del cociente con denominador no nulo da directamente el límite 2/2=1.
Reescribe x log x cuando x→0⁺ para poder usar la regla.
Escribe un producto como cociente.
Cuando x→0⁺, el numerador tiende a −∞ y el denominador a +∞; son derivables y (1/x)′=−1/x² no se anula.
El cociente de derivadas es (1/x)/(−1/x²)=−x→0, por lo que el producto tiene límite 0.