Regla de L’Hôpital y sus condiciones

Si numerador y denominador tienden a cero, el cociente puede tener distintos resultados. La forma 0/0 no es una división permitida: nos avisa de que falta comparar las velocidades con que cambian.

Lo mismo ocurre con ∞/∞, donde ambos crecen en magnitud. Si el denominador tiende a un número no nulo, las leyes ordinarias ya resuelven el límite. Si solo el denominador tiende a cero, primero hay que mirar los signos laterales.

Trabajamos en un intervalo a un lado de a, sin incluir a.

Si f y g tienden ambos a cero, o ambos divergen en magnitud, y f′(x)/g′(x) tiene límite L, finito o infinito, entonces f(x)/g(x) tiene ese mismo límite.

Para un límite bilateral se comprueba cada lado. Para x→±∞ se usa una cola del dominio. No hace falta que f′ y g′ tengan límites por separado: importa su cociente. Es una condición suficiente; si no se cumple, el teorema no decide por sí solo el problema.

En el caso 0/0 podemos extender f(a)=g(a)=0 para hacerlas continuas en el extremo. El teorema del valor medio de Cauchy, entre a y una entrada x, da un punto c intermedio con f(x)/g(x)=f′(c)/g′(c).

Cuando x se acerca a a, también c se acerca. Si el cociente de derivadas tiene límite L, la igualdad transfiere ese límite.

La derivada de una fracción sería otra operación: (f′g−fg′)/g².

Después de una aplicación nos detenemos a calcular el nuevo límite. Si ya tiene denominador de límite no nulo, se termina. Si vuelve a aparecer 0/0 o ∞/∞, revisamos las hipótesis de la nueva pareja antes de otra aplicación.

Conserva una línea por cada paso: forma inicial, cociente de derivadas y nueva forma. Así no se deriva una vez de más ni se oculta una condición que dejó de cumplirse.

L’Hôpital se aplica a cocientes. Para un producto de tipo 0·∞ podemos escribir u·v=v/(1/u) donde u≠0. Después volvemos a identificar la forma y las hipótesis.

Una diferencia ∞−∞ puede pedir denominador común o conjugados. No se derivan por separado dos términos infinitos para restarlos. A veces la transformación algebraica resuelve todo y la regla deja de ser necesaria.

Las etiquetas 1^∞, 0⁰ e ∞⁰ avisan de que hay que comparar el exponente con el logaritmo de la base.

Estudiamos primero v ln u, a veces convirtiéndolo en cociente. Si su límite es A, el de la potencia es eᴬ; si es +∞ o −∞, la potencia tiende respectivamente a +∞ o cero. Nunca dejamos como respuesta el logaritmo si nos pedían la potencia.

La regla tiene dirección: si se cumplen sus hipótesis y converge el cociente derivado, obtenemos el límite original. Si el cociente derivado oscila, no podemos invertir la afirmación y negar el límite original.

También puede aparecer un límite sencillo al derivar una fracción sin indeterminación. Ese cálculo no está autorizado como aplicación del teorema: hay que volver a la expresión original.

Primero prueba continuidad, factorización, conjugados o comparación de grados según la forma. Si eliges L’Hôpital, registra las hipótesis y el límite del cociente derivado que permite concluir.

Las derivadas de seno y coseno se suelen construir usando antes lim sinx/x=1. Reutilizarlas después para calcular ese límite es una aplicación válida de reglas ya establecidas, pero no una demostración inicial independiente. En las funciones trigonométricas usamos radianes.