lim(x→0)x sin(1/x).
Acota el módulo por |x|.
Para x≠0, el seno tiene módulo como máximo uno.
Por tanto |x sin(1/x)|≤|x|, evitando multiplicar una desigualdad por x sin saber su signo.
Como |x|→0, la versión de error absoluto del emparedado demuestra que el límite es 0.
lim(x→0)x⁴cos(3/x).
El coseno sigue acotado por uno.
Aunque el argumento 3/x cambie rápidamente, |cos(3/x)|≤1 para x≠0.
La cota x⁴ tiende a cero y, por acotación, el límite del producto es 0.
Si 2−x²≤f(x)≤2+x² cerca de cero, calcula lim f.
Las dos cotas coinciden en el límite.
La hipótesis coloca a f entre 2−x² y 2+x² en un entorno de cero.
Ambas funciones polinómicas tienden a 2 por continuidad.
El teorema del emparedado obliga a que lim f(x)=2.
¿−1≤sin(1/x)≤1 demuestra un límite en cero?
Mira si las cotas tienden al mismo valor.
Las cotas constantes −1 y 1 tienen límites distintos y no se estrechan alrededor de una sola salida.
Por tanto esa desigualdad no demuestra un límite en cero; estar acotada no basta.
Además las entradas 1/(π/2+2πn) y 1/(3π/2+2πn) tienden a cero con salidas 1 y −1, de modo que el límite realmente no existe.
Prueba lim(x→0)x²sin²(1/x)=0.
Usa 0≤sin²≤1.
Para x≠0 se cumple 0≤sin²(1/x)≤1 porque un cuadrado es no negativo y el seno tiene módulo como máximo uno.
Como x²≥0, multiplicamos sin invertir el orden: 0≤x²sin²(1/x)≤x².
Las dos cotas tienden a cero y el teorema demuestra el límite solicitado 0.