Una función puede moverse demasiado para calcular su límite directamente. Si conseguimos encerrarla entre dos bordes que llegan al mismo sitio, sabemos adónde llega también. Primero veremos qué significa ese encierro y luego cómo construirlo sin tener que seguir cada oscilación.
Si necesitas repasar:
1. Dos bordes cierran el espacio disponible
Piensa en una altura f(x) encerrada entre una altura inferior g(x) y otra superior h(x): g(x)≤f(x)≤h(x). No basta con que ocurra en algunos puntos de una tabla: debe ocurrir para todas las entradas suficientemente próximas al punto, salvo el propio punto.
Si las dos cotas tienden al mismo número L cuando x→a, la altura intermedia también tiende a L. Las funciones pueden no estar definidas en a. En un límite lateral solo usamos entradas de ese lado; en infinito, entradas de una cola suficientemente alejada.
Llegar a tres sin conocer la fórmula intermedia
Cerca de x=2 sabemos 3−(x−2)²≤f(x)≤3+(x−2)².
Leer los bordes
El término (x−2)² se acerca a cero por los dos lados.
Límite de cada uno
La cota inferior y la superior tienden ambas a tres.
Encerrar
Ninguna salida intermedia puede quedarse alejada de tres cuando el hueco se cierra.
El límite de f en dos es tres.
No se ha supuesto f(2)=3 ni siquiera que exista f(2).
Una afirmación local no tiene que valer siempre
Solo sabemos −x²≤f(x)≤x² cuando 0<|x|<0,1.
Lugar
El encierro cubre todas las entradas no nulas de ese entorno.
Bordes
−x² y x² tienden a cero.
Decisión
Lo que ocurra fuera de ese intervalo no cambia el límite en cero.
El límite es cero.
Una condición en unos pocos valores aislados no habría sido suficiente.
2. La prueba: cualquier margen de error acaba siendo suficiente
El límite de la cota inferior da una distancia δ₁ para quedar por encima de L−ε; el de la superior da otra δ₂ para quedar por debajo de L+ε.
Así el mismo x sirve para las dos garantías: L−ε<g(x)≤f(x)≤h(x)<L+ε.
Como podemos hacerlo para cualquier ε, eso es precisamente el límite.
Convertir el dibujo en una distancia concreta
Si |f(x)|≤x², garantizar error menor que 0,01.
Objetivo
Queremos |f(x)|<0,01.Basta controlar la cota
x²<0,01 equivale a |x|<0,1.Garantía uniforme
Todo x no nulo con |x|<0,1 cumple la tolerancia, no solo el primer valor probado.
Podemos elegir δ=0,1.
Si el encierro solo vale en un entorno menor, se toma también ese radio como restricción.
Una tolerancia cualquiera
Para |f(x)−5|≤3|x−2|, elegir δ.
Objetivo
3|x−2|<ε.Elegir
δ=ε/3, o el mínimo con el radio donde valga la cota.
Comprobar
0<|x−2|<δ implica |f(x)−5|≤3|x−2|<ε.
El límite en dos es cinco.
La tolerancia se elige antes; δ depende de ella.
3. Controlar el módulo equivale a controlar arriba y abajo
El módulo |f(x)−L| mide la distancia de la salida a L. Si está por debajo de una cantidad no negativa u(x) que tiende a cero, el error también desaparece.
Esta versión suele ahorrar una cota por cada lado y funciona aunque la expresión cambie de signo.
Una perturbación que no cambia el límite
f(x)=4+x²cos(7/x), x≠0, cuando x→0.
Separar la salida esperada
f(x)−4=x²cos(7/x).Módulo
|f(x)−4|≤x² porque |cos t|≤1.Cerrar el error
x²→0, luego la distancia a cuatro desaparece.
El límite es cuatro.
La frecuencia 7/x no cambia la cota del coseno.
Una cota que obliga a un único valor
|f(x)+2|≤|x−1| cerca de uno.
Identificar el centro
f(x)+2=f(x)−(−2).Cota positiva
|x−1| es no negativa y tiende a cero.
Concluir
La salida se acerca a menos dos.
El límite es −2.
Una cantidad negativa no puede servir como cota superior de un módulo no negativo.
4. La amplitud se hace pequeña aunque la fase siga oscilando
En a(x)sin b(x), la fase b(x) decide en qué entradas aparecen los picos. La amplitud |a(x)| decide qué altura máxima pueden tener. Siempre |a(x)sin b(x)|≤|a(x)|, en las entradas donde la fase esté definida.
Si la amplitud tiende a cero, basta esa cota. No usamos la ley del producto de dos límites cuando el seno no tiene límite: usamos una desigualdad válida para todos sus valores.
Cambiar la fase no rompe el encierro
x²sin(1/x²) cuando x→0, x≠0.
Separar
La amplitud es x²; la fase es 1/x².
Acotar
|x²sin(1/x²)|≤x².Límite
La cota tiende a cero, por lo que el producto también.
El límite es cero.
No afirmamos que 1/x² ni su seno tengan límite finito.
Otra velocidad de amplitud
√|x|·cos(2/x) cuando x→0.
Dominio
La raíz está definida para todo x y la fase exige x≠0.
Cota
El módulo del producto no supera √|x|.
Cerrar
√|x|→0 por ambos lados.
El límite es cero.
La raíz crece más que x² cerca de cero, pero también desaparece.
5. Un factor acotado y otro que desaparece
No hace falta un seno. Si existe un número fijo M con |v(x)|≤M en todo el entorno usado y u(x)→0, entonces |u(x)v(x)|≤M|u(x)|→0.
La palabra fijo importa: una cota que crece sin control con x no proporciona esta garantía. Al multiplicar desigualdades por una cantidad de signo desconocido cambia el sentido si es negativa; usar módulos evita ese problema.
Una función escalonada también sirve
v(x) vale uno si x es racional y menos uno si es irracional. Estudiar x·v(x) en cero.
Tamaño
Siempre |v(x)|=1, aunque v no se estabilice cerca de cero.Producto
|xv(x)|=|x|.Encierro
La cota tiende a cero.
El producto tiene límite cero.
Estar acotada no hace continua a v ni le da límite.
Una cota que no es uniforme no basta
u(x)=x y v(x)=1/x para x≠0.
Primer factor
x→0.Segundo
No existe una constante M que acote |1/x| cerca de cero.
Producto real
x·(1/x)=1, que no tiende a cero.
Falla la hipótesis de factor acotado.
No se puede sustituir M por 1/|x| y seguir diciendo que M|x|→0.
6. Por qué el límite del seno necesita radianes
En el círculo unidad, para 0<x<π/2 en radianes, un triángulo interior, el sector y el triángulo exterior tienen áreas sinx/2, x/2 y tanx/2.
Como x, sinx y cosx son positivos en ese intervalo, se obtiene cosx≤sinx/x≤1. Ambos bordes tienden a uno. El cociente sinx/x es par, así que el mismo límite vale por la izquierda. Este fundamento no usa la derivada del seno.
El encaje que da uno
Estudiar sinx/x cuando x→0.
Lado positivo
El argumento de áreas deja cosx≤sinx/x≤1.Límite
La continuidad geométrica del coseno en cero hace coincidir los bordes en uno.
Lado negativo
sin(−x)/(−x)=sinx/x: mismo resultado.
El límite es uno en radianes.
No se evaluó el cociente en cero.
Si el número representa grados
Sea s(t)=sin(πt/180), el seno del ángulo t grados. Hallar s(t)/t en cero.
Cambiar de unidad
u=πt/180.Reescribir
s(t)/t=(π/180)·sinu/u.Aplicar el límite ya probado
sinu/u→1.
El límite es π/180.
El valor uno se refiere al argumento numérico en radianes.
7. Una franja ancha no demuestra convergencia
Saber −1≤sin(1/x)≤1 no obliga a una única llegada: las dos cotas siguen separadas. Una función puede estar acotada y continuar oscilando.
Para demostrar que no hay límite, buscamos dos sucesiones de entradas que lleguen al mismo punto y produzcan salidas distintas. Aquí tomamos entradas que hagan al ángulo una vuelta completa más π/2, o más 3π/2.
Dos caminos por el lado positivo
Comparar xₙ=1/(π/2+2πn) e yₙ=1/(3π/2+2πn), n≥0.
Entradas
Las dos sucesiones positivas tienden a cero.
Salidas
sin(1/xₙ)=1; sin(1/yₙ)=−1.Incompatibilidad
Un único límite no puede ser a la vez uno y menos uno.
sin(1/x) no tiene límite en cero.
Las dos familias ya refutan incluso el límite derecho.
Un encierro verdadero que aún no responde
1≤f(x)≤3 cerca de cero.
Lo que sabemos
Todas las alturas están entre uno y tres.
Dos posibilidades
f(x)=2 cumple; f(x)=2+sin(1/x) también cumple para x≠0.Diferencia
La primera converge; la segunda no, por las dos sucesiones anteriores.
La información no determina si existe límite.
Una cota útil debe acercar ambos bordes o controlar un error que desaparezca.
8. Para crecer sin cota puede bastar un solo borde
Si f(x)≥g(x) y g(x)→+∞, para superar cualquier altura basta que la supere la cota inferior.
Al buscar cotas, primero declara el entorno, después separa la parte de tamaño controlado y finalmente comprueba que los bordes sirvan para el mismo tipo de llegada: bilateral, lateral o en infinito.
Una oscilación que no impide crecer
f(x)=x+sin(x²), cuando x→+∞.
Cota
Como el seno es mayor o igual que menos uno, f(x)≥x−1.
Borde
x−1→+∞.Transferir
Toda altura prefijada acaba siendo superada también por f.
El límite es +∞.
No se exige que las oscilaciones desaparezcan: el borde inferior crece.
Una divergencia bilateral negativa
f(x)=−1/x²+cos(1/x), x→0.
Cota superior
f(x)≤−1/x²+1.Borde
−1/x²+1→−∞ por ambos lados.Concluir
La función no puede quedarse por encima de ninguna altura finita.
El límite es −∞.
El coseno está definido en las entradas no nulas que usamos.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Oscilación controlada
Calcula lim(x→0)x² sin(1/x).
Leer la llegada
Buscamos el comportamiento en entradas cercanas a cero, con x≠0.
Separar factores
x² mide la amplitud; sin(1/x) puede seguir oscilando.
Usar una desigualdad global
−1≤sin(1/x)≤1.Multiplicar sin cambiar el orden
x²≥0, así que −x²≤x²sin(1/x)≤x².Calcular los bordes
Ambos tienden a cero cuando x→0.Concluir
Por emparedado, el límite es cero. No se necesita asignar una salida en cero.
Límite 0.
El seno no necesita tener límite por sí solo.
EJEMPLO RESUELTO 2
Una raíz acotada
Calcula lim(x→0)|x|cos(1/x).
Localizar el dominio
La fase 1/x exige x≠0; |x| está definida a ambos lados.
Acotar el factor oscilante
|cos(1/x)|≤1.Controlar el producto
||x|cos(1/x)|≤|x|.Elegir bordes
−|x|≤|x|cos(1/x)≤|x|.Límite de las cotas
Tanto −|x| como |x| tienden a cero.
Concluir y verificar
El límite bilateral es cero; para error ε basta 0<|x|<ε.
Límite 0.
También −|x|≤f≤|x|.
Los símbolos que hemos usado
- f(x)
- Función cuyo límite se quiere conocer.
- g(x),h(x)
- Cotas inferior y superior de f cerca del punto considerado.
- L
- Valor finito común de los límites de ambas cotas.
- ε
- Tolerancia positiva sobre el error de la salida.
- δ
- Distancia positiva suficiente de la entrada al punto límite.
- M
- Cota constante no negativa para el módulo de una función.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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