EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
Resuelve √(x+2)=x en R.
Repasar: Al aislar una raíz principal aparece una condición de signo ↗
- PISTA 1
Conservar dos restricciones diferentes
El radicando exige x≥−2. Además la raíz principal es no negativa y está igualada a x, así que una solución debe tener x≥0.
- PISTA 2
Resolver la ecuación cuadrada
Elevar ambos miembros al cuadrado da x+2=x². Ordena y factoriza la cuadrática sin descartar candidatos todavía.
- PISTA 3
Volver a la igualdad original
Revisa cada candidato en √(x+2)=x. Un radicando permitido no basta si el otro miembro tiene signo negativo.
Un desarrollo posible.
La raíz √(x+2) exige x≥−2 y, como iguala a x, también se requiere x≥0.
Al cuadrar obtenemos x+2=x², que factoriza como (x−2)(x+1)=0 y da candidatos 2 y −1.
Solo 2 cumple el signo y la igualdad √4=2; la solución es x=2.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Resuelve √(3x+1)=4.
Repasar: Después de cuadrar desarrollamos el miembro completo ↗
- PISTA 1
Examinar la raíz aislada
El radicando debe ser no negativo y el miembro derecho cuatro ya tiene el signo permitido para una raíz principal.
- PISTA 2
Cuadrar los dos miembros
El cuadrado de la raíz es 3x+1 y el de cuatro es 4². Calcula la potencia antes de despejar x.
- PISTA 3
Despejar y comprobar la raíz
Resta la constante y divide por tres. Sustituye la entrada final en 3x+1 y toma su raíz principal para verificar que da cuatro.
Un desarrollo posible.
El miembro derecho 4 es no negativo y la raíz ya está aislada.
Cuadrar da 3x+1=16, de donde 3x=15 y x=5.
Comprobamos √(3·5+1)=√16=4 y aceptamos la solución 5.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
¿Cuántas soluciones reales tiene √x=−2?
Repasar: Al aislar una raíz principal aparece una condición de signo ↗
- PISTA 1
Mirar el signo antes de transformar
En los reales, √x es la raíz principal y siempre es no negativa. El otro miembro ya es un número fijo.
- PISTA 2
Preguntar si esos signos pueden coincidir
Cuadrar borraría la diferencia entre dos y menos dos. Decide primero si alguna entrada puede hacer negativa una raíz principal.
- PISTA 3
Responder con una cantidad de soluciones
Si ningún valor puede cumplir la igualdad original, la respuesta pedida es cuántos hay. No escribas un candidato de la ecuación cuadrada.
Un desarrollo posible.
Para x≥0, la raíz principal √x nunca es negativa.
El miembro derecho es −2, que no puede ser igual a ningún valor de esa raíz.
No hay soluciones reales y la cantidad solicitada es 0; cuadrar habría ocultado esa imposibilidad de signo.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
Resuelve √(x+1)=x−1.
Repasar: Cuadrar conserva soluciones, pero puede añadir candidatos ↗
- PISTA 1
Aislar el control de signo
La raíz ya está sola. Su dominio exige x≥−1 y, por igualdad con una raíz principal, x−1 debe ser no negativo.
- PISTA 2
Desarrollar el cuadrado completo
Al cuadrar queda x+1=(x−1)². Desarrolla x²−2x+1 y lleva todos los términos a un miembro.
- PISTA 3
Filtrar y verificar
La ecuación polinómica puede tener dos candidatos. Descarta los que no cumplen el signo y comprueba los demás en la raíz original.
Un desarrollo posible.
La ecuación exige x+1≥0 y x−1≥0, por lo que basta conservar x≥1 como restricción más fuerte.
Al cuadrar queda x+1=x²−2x+1 y por tanto x(x−3)=0, con candidatos 0 y 3.
El cero no cumple la restricción; en 3 se obtiene √4=2=3−1, de modo que la solución es 3.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
Resuelve √(x)+1=5 en los reales.
Repasar: Aislar primero hace visible qué queda dentro y fuera de la raíz ↗
- PISTA 1
Leer qué queda dentro de la raíz
El radicando es x. El +1 está fuera, así que debes eliminar primero esa suma exterior en ambos miembros.
- PISTA 2
Dejar la raíz sola
Resta uno de los dos lados para aislar √x. El resultado del otro miembro debe elevarse completo al cuadrado.
- PISTA 3
Comprobar antes de dar la entrada
Sustituye la candidata en √(x)+1. Primero toma la raíz y después añade la unidad; la suma debe recuperar cinco.
Un desarrollo posible.
Aislamos la raíz restando uno a ambos lados: √x=4, con dominio x≥0.
Como ambos miembros son no negativos, elevar al cuadrado da x=16.
La comprobación en la expresión original es √16+1=4+1=5, así que 16 es la solución.