Ecuaciones con radicales y soluciones extrañas

La raíz cuadrada √A es el número no negativo cuyo cuadrado vale A, siempre que A≥0.

Se llama ecuación radical o irracional, en el uso escolar, cuando la incógnita aparece bajo una raíz. El nombre no obliga a que su solución sea irracional: puede salir un entero, un radical, varios valores o ninguno.

Una raíz de índice par necesita radicando ≥0. Si la raíz está en un denominador, además no puede ser cero: su radicando será >0. Reunimos todas las restricciones de la expresión original.

Una raíz cúbica sí acepta radicandos negativos: ∛(−8)=−2. No se le impone la condición de una raíz cuadrada. Si aparecen denominadores adicionales, también se conservan sus exclusiones.

Si dejamos √A(x)=B(x), necesitamos B(x)≥0 porque debe igualar a una raíz principal.

Aislar significa dejar la raíz sola sumando o restando lo mismo a ambos miembros.

Si la raíz queda igualada a un número negativo, no hay solución real y no hace falta cuadrar. Con varias raíces mantenemos las condiciones originales aunque todavía no las hayamos eliminado.

El regreso no siempre vale: 2 y −2 tienen el mismo cuadrado. Por eso cuadrar sin condiciones puede ampliar el conjunto de soluciones.

Para √A=B, la equivalencia exacta exige A=B² y B≥0, con las expresiones definidas. Si no se controla el signo durante el cálculo, se filtran todos los candidatos al final sustituyéndolos en la ecuación inicial.

El cuadrado de U+V es U²+2UV+V². No se puede omitir el producto cruzado ni elevar solo una parte de un miembro. Una vez eliminado el radical resolvemos todos los candidatos de la ecuación resultante.

La comprobación se hace en la igualdad original. Revisar solo la ecuación que acabamos de cuadrar no detectaría los candidatos añadidos por esa misma operación.

Suele convenir aislar una raíz, cuadrar y volver a aislar la que quede. Cada elevación par necesita conservar signos o comprobar al final. Cuadrar una suma demasiado pronto crea productos de raíces innecesarios.

A veces los signos resuelven el problema sin expandir. Si una cantidad es a la vez ≥0 y ≤0, debe ser cero; si se exige >0 y ≤0, no queda ningún valor.

Reemplazar √(u²) por u sin mirar su signo alteraría la ecuación.

No añade una ambigüedad de signo como el cuadrado, aunque siempre se mantengan los dominios de las expresiones originales.

Ordenamos la resolución: dominio, signo, ecuación transformada, todos sus candidatos y comprobación original. Si todos fallan, la respuesta es el conjunto vacío.

La lista está completa porque toda solución original tuvo que ser candidata de la transformada. Resolver todos esos candidatos y comprobar cuáles regresan a la igualdad original justifica las dos direcciones.

Restar dos a ambos miembros deja una sola raíz y permite cuadrar sin productos cruzados.

Si se eligiera cuadrar primero, habría que elevar toda la suma: (√(x+4)+2)²=x+4+4√(x+4)+4. No es una ruta prohibida, pero añade trabajo y conserva un radical. Aclarar el alcance de cada operación evita empezar con otra ecuación.