En 3³=27 conocemos base, exponente y resultado. En 3ˣ=27 falta el exponente: buscamos qué número hace verdadera la igualdad. Empezaremos con potencias conocidas y después resolveremos casos donde necesitamos un logaritmo.
Si necesitas repasar:
1. La incógnita está en el exponente, pero la salida sigue siendo positiva
En aˣ la base a es el número que se eleva y x es el exponente.
Un exponente negativo no produce una salida negativa: a⁻ᵘ=1/aᵘ. La base uno es un caso aparte, pues 1ˣ=1 siempre. Las bases negativas no definen una exponencial real para todas las entradas y no siguen sin más este marco.
Leer las tres piezas de una potencia
Resolver 3ˣ=27.
Reconocer
27=3³.Comparar
Buscamos el exponente que produce ese resultado.
Respuesta
x=3 y 3³=27 lo comprueba.
La x representa el exponente, no la base.
No se divide 27 entre 3 para resolver una potencia.
Un exponente negativo conserva salida positiva
Calcular 2⁻² y (1/2)⁻².
Primera
2⁻²=1/2²=1/4.Segunda
(1/2)⁻²=1/(1/2)²=4.Comparar
Las dos salidas son positivas.
El signo del exponente cambia el recíproco.
−2²=−4, sin paréntesis de base, sería otra expresión.
2. Con la misma base admitida podemos igualar exponentes
Para a>0 y a≠1, dos exponentes diferentes dan salidas diferentes. Esa inyectividad justifica 
dentro del dominio original.
También funciona si la base está entre cero y uno: que la curva decrezca no altera una igualdad. Pero bases diferentes no permiten comparar exponentes directamente.
El exponente puede ser un bloque
Resolver 5^(2x−1)=5^(x+3).
Base
Ambos lados tienen base cinco, válida.
Exponentes
2x−1=x+3.Resolver
x=4; ambos exponentes valen siete.
Se compara todo el bloque.
No se iguala solo 2x con x.
Una base decreciente también es inyectiva
Resolver (1/3)^(x+2)=(1/3)^5.
Base
1/3 es positiva y distinta de uno.
Igualar
x+2=5.Respuesta
x=3.
No se invierte un signo de igualdad por ser decreciente.
Cambiaría el sentido de ciertas desigualdades, no esta igualdad.
3. Creamos una base común conservando todos los exponentes
Si una base es una potencia de otra, usamos (aᵘ)ᵛ=aᵘᵛ para a>0.
Una raíz permite exponentes fraccionarios exactos.
Multiplicar potencias de la misma base suma exponentes; dividirlas los resta. Una suma no sigue esa regla. Tampoco un coeficiente exterior se convierte automáticamente en parte del exponente.
Bases distintas con una raíz común
Resolver 8^(x−1)=16.
Base dos
(2³)^(x−1)=2⁴.Potencia de potencia
2^[3(x−1)]=2⁴: 3(x−1)=4.Despejar
x=1+4/3=7/3.
El −1 también se multiplica por tres.
8^(4/3)=(∛8)⁴=16.
Un recíproco cambia el signo del exponente
Resolver (1/4)^x=8.
Escribir base dos
(2⁻²)^x=2³.Igualar
−2x=3.Resolver
x=−3/2; (1/4)^(−3/2)=8.
La respuesta negativa produce una potencia positiva.
4^(3/2)=8 es la comprobación del recíproco.
4. Si la constante es positiva, un logaritmo permite hallar el exponente
.ln significa logaritmo natural. ln a es un número fijo cuando a es fija. La expresión logarítmica es exacta; al escribir un decimal redondeado usamos ≈, no =.
Una potencia que no reconocemos de memoria
Resolver 5ˣ=12.
Positividad
12>0: se pueden tomar logaritmos.Transformar
ln(5ˣ)=ln12, luego x·ln5=ln12.Despejar
x=ln12/ln5, entre uno y dos porque 5<12<25.
El cociente de logaritmos es una respuesta exacta.
5^[ln12/ln5]=12 por la definición de exponencial y logaritmo.
Comprobar el signo antes de calcular
Resolver 7ˣ=0 y 7ˣ=−2.
Salida
7ˣ siempre es positiva.
Cero
Acercarse a cero no significa alcanzarlo en una entrada real finita.
Negativo
Tampoco puede ser −2.
Las dos ecuaciones carecen de solución real.
No se intenta calcular ln0 ni ln(−2) en ℝ.
5. Si el bloque se repite, t=aˣ debe ser estrictamente positivo
Para cada t positivo recuperamos una única x mediante aˣ=t; no se termina el ejercicio escribiendo solo las raíces auxiliares.
Una raíz auxiliar cero no tiene regreso
Resolver 2^(2x)−4·2ˣ=0.
Cambio
t=2ˣ>0: t²−4t=t(t−4)=0.Filtrar
t=0 se descarta; t=4 sí sirve.Regresar
2ˣ=4=2²: x=2.
Solo x=2.
16−4·4=0 verifica la original.
Una raíz auxiliar negativa también se elimina
Resolver 2^(2x)−2ˣ−6=0.
Cambio
t²−t−6=(t−3)(t+2)=0.Signo
t=3 o −2; conservamos 3.Regresar
x=ln3/ln2.
La solución existe aunque no sea un entero.
Con t=3, 9−3−6=0.
6. Antes de tomar logaritmos reunimos las potencias
En una suma, ese paso suele ser más útil que aplicar ln de entrada.
Si una potencia tiene una suma exterior, primero la aislamos. Al bajar un exponente que sea una suma, lo conservamos entero entre paréntesis: ln(a^(x+2))=(x+2)ln a.
Una suma se reduce a una sola potencia
Resolver 3^(x+1)+3ˣ=36.
Reescribir
3·3ˣ+3ˣ=4·3ˣ.Aislar
3ˣ=9.Responder
x=2; 27+9=36.
Se suman coeficientes de un mismo bloque.
3^(x+1)+3ˣ no es 3^(2x+1).
La resta exterior no forma parte del exponente
Resolver 4^(2x−1)−3=6.
Aislar
4^(2x−1)=9.Logaritmos
(2x−1)ln4=ln9.Despejar
x=(1+ln9/ln4)/2.
El logaritmo se aplica a la potencia ya aislada.
Su exponente produce exactamente 9 y después 9−3=6.
7. Una salida única no garantiza una única entrada de un bloque compuesto
La ecuación aˣ=c tiene una única x cuando a es válida y c>0. Pero aᵘ⁽ˣ⁾=c fija un valor de u(x), y ese bloque puede tomarlo en varias entradas.
Si no hay un despeje elemental, estudiamos la función continua y su monotonía. Un cambio de signo garantiza un cero dentro del intervalo; ser estrictamente monótona garantiza como máximo uno. Una tabla sola no prueba que se hayan encontrado todos.
Un exponente cuadrado produce dos entradas
Resolver 2^(x²)=8.
Misma base
8=2³: x²=3.Resolver bloque
x=−√3 o √3.Comprobar
Ambos cuadrados valen tres y producen ocho.
Hay dos soluciones aunque la salida sea una sola.
La inyectividad se aplica al exponente completo x².
Una solución numérica bien localizada
Estudiar 2ˣ+x=4.
Función
f(x)=2ˣ+x−4 es continua y estrictamente creciente en todo ℝ.Acotar
f(1)=−1 y f(2)=2: hay un cero entre uno y dos.Concluir
La monotonía garantiza que es la única raíz real; puede aproximarse por bisección.
No hace falta inventar una fórmula elemental.
La cota y la unicidad están justificadas antes de aproximar.
8. El dominio del exponente y la precisión también se conservan
Una base positiva no elimina las restricciones de un exponente con fracciones, raíces o logaritmos. Se anotan antes de igualar exponentes y se comprueban al regresar.
Conservamos la solución exacta disponible. Un decimal redondeado solo verificará la ecuación aproximadamente; no se espera una igualdad numérica perfecta con un exponente que ya hemos recortado.
Un denominador dentro del exponente
Resolver 2^[1/(x−1)]=4.
Dominio
x≠1.Igualar
1/(x−1)=2: 1=2(x−1).Resolver
x=3/2, permitido; su exponente vale dos.
La base dos no permite x=1.
Se vuelve a evaluar el exponente completo.
Distinguir exactitud y redondeo
Para 5ˣ=12, usar x=ln12/ln5.
Exacto
Este cociente define la solución sin redondeo.
Decimal
Si se calcula y se recorta, se escribe x≈valor obtenido.Verificar
5 elevado al valor recortado estará cerca de 12, con error acorde al recorte.
El símbolo de aproximación señala una información distinta.
No se cambia la expresión exacta por una igualdad falsa de pocos decimales.
9. Identificamos qué número buscamos antes de aplicar una regla
En 2^(2x)=8, la exponencial exige que todo 2x valga tres y después hay que resolver para x.
Igualar exponentes aquí perdería soluciones porque la función es constante.
No copiar un exponente como si fuera la incógnita
Resolver 2^(2x)=8.
Resultado conocido
8=2³.Bloque
2x=3.Recuperar
x=3/2.
El tres era el valor de 2x.
2^(2·3/2)=2³=8.
Una base que no distingue exponentes
Comparar 1ˣ=1 con 1ˣ=2.
Primera
1ˣ siempre vale 1: todo x real.
Segunda
Nunca vale 2: ninguna solución.
Regla
No se igualan exponentes con base uno.
La condición a≠1 es necesaria.
1²=1⁷ aunque 2≠7.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Bases relacionadas
Resuelve 9^(x−1)=27.
Base común
9=3² y 27=3³.Sustituir
(3²)^(x−1)=3³.Potencia de potencia
3^[2(x−1)]=3³.Igualar
2(x−1)=3: 2x−2=3.Resolver
x=5/2.Comprobar
x−1=3/2 y 9^(3/2)=(√9)³=27.
x=5/2.
9^(3/2)=(√9)³=27.
EJEMPLO RESUELTO 2
Cambio de variable
Resuelve 2^(2x)−5·2ˣ+4=0.
Cambio
t=2ˣ>0: t²−5t+4=0.Factorizar
(t−1)(t−4)=0.Admisibilidad
1 y 4 son positivos.
Regresar
2ˣ=1 da x=0; 2ˣ=4 da x=2.Conjunto
{0,2}.
Verificar
En 0:1−5+4=0; en 2:16−20+4=0.
{0,2}.
En x=0:1−5+4=0; en 2:16−20+4=0.
Los símbolos que hemos usado
- aˣ
- Exponencial real de base a>0.
- a≠1
- Condición que hace la exponencial no constante e inyectiva.
- ln
- Logaritmo natural, inversa de la exponencial de base e.
- t=aˣ
- Variable auxiliar estrictamente positiva.
- u(x),v(x)
- Expresiones que aparecen como exponentes o miembros de una ecuación.
- Rango (0,∞)
- Conjunto de salidas posibles de aˣ para a>0 y a≠1.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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