El logaritmo es una pregunta sobre una potencia: ¿a qué exponente tengo que elevar la base para obtener el argumento? Resolveremos primero esa pregunta y mantendremos el dominio visible, porque no hay logaritmos reales de cero ni de números negativos.
Si necesitas repasar:
1. El resultado del logaritmo es un exponente
logₐu=c significa aᶜ=u. a es la base, u el argumento y c el exponente buscado.
El resultado c puede ser negativo o cero. Si a>1, un argumento entre cero y uno produce un exponente negativo; el argumento sigue siendo positivo. ln usa base e y log₁₀ usa base diez.
La misma información escrita de dos maneras
Leer log₅25=2.
Base
Cinco.
Pregunta
¿Qué exponente de cinco produce veinticinco?
Potencia
5²=25: el resultado es dos.
El argumento no es la base multiplicada por el resultado.
5·2=10 no tiene relación con la definición de este logaritmo.
Un resultado negativo con argumento positivo
Calcular log₃(1/9).
Potencia
3⁻²=1/9.Definición
El exponente buscado es −2.
Dominio
1/9 es positivo; el logaritmo existe.
log₃(1/9)=−2.
Un argumento negativo sería otra situación y no se admite en ℝ.
2. Anotamos el dominio de cada logaritmo antes de combinarlos
Cada argumento debe ser estrictamente positivo. Intersectamos todas las condiciones: no basta con que el producto de argumentos sea positivo. Un cero tampoco es admisible.
Si hay denominadores externos, conservamos sus exclusiones. Las restricciones pertenecen a la expresión inicial y no se borran al transformarla.
Dos condiciones deben cumplirse a la vez
Dominio de log₃(x−1)+log₃(x+1).
Primer argumento
x−1>0: x>1.Segundo
x+1>0: x>−1.Intersección
x>1 es el dominio común.
No sirve la región x<−1.
Allí ambos argumentos son negativos aunque su producto sea positivo.
La base también puede imponer restricciones
Preparar logₓ9=2.
Argumento
9>0, siempre.Base
x>0 y x≠1.Conservar
Estas condiciones acompañan a la ecuación x²=9 que aparecerá después.
No se acepta una base negativa por salir de la auxiliar.
x=−3 no define el logaritmo real de base variable usado aquí.
3. Pasamos a potencia o igualamos argumentos con una misma base
Si logₐu=logₐv, la inyectividad del mismo logaritmo permite u=v, con ambos argumentos positivos.
No quitamos dos logaritmos de bases diferentes como si fueran el mismo operador. En ese caso puede hacer falta cambiar de base o calcular sus valores.
Una ecuación lineal después del logaritmo
Resolver log₄(3x−2)=2.
Dominio
3x−2>0: x>2/3.Potencia
3x−2=4²=16.Resolver
x=6; el argumento vale 16 y log₄16=2.
La solución cumple el dominio.
El resultado dos se convierte en exponente.
La base decreciente sigue siendo inyectiva
Resolver 
.
Dominio
x+2>0 y 3x>0: x>0.Igualar
x+2=3x.Resolver
x=1; ambos argumentos valen tres.
Una igualdad no cambia por tener base menor que uno.
Las bases coinciden y son admitidas.
4. Sumar logaritmos combina un producto; restarlos, un cociente
Para u,v>0 y la misma base válida: logₐu+logₐv=logₐ(uv), y logₐu−logₐv=logₐ(u/v). Son consecuencias de sumar o restar exponentes en un producto o cociente de potencias.
Combinar no sustituye el dominio original por el del producto: dos negativos dan producto positivo, pero sus logaritmos separados siguen sin existir como reales.
El producto genera dos candidatos y solo uno regresa
Resolver log₃(x−1)+log₃(x+1)=1.
Dominio
x>1.Combinar
log₃(x²−1)=1: x²−1=3 y x=±2.Filtrar
Solo 2 está en el dominio; log₃1+log₃3=0+1=1.
La solución es 2; −2 se descarta.
En −2 los argumentos son −3 y −1, ambos no admitidos.
Una diferencia produce un cociente, en ese orden
Resolver log₂(x+3)−log₂(x−1)=1.
Dominio
x>1.Cociente
(x+3)/(x−1)=2.Resolver
x+3=2x−2: x=5 y 8/4=2.
La solución es 5.
El logaritmo restado aporta el denominador.
5. Las potencias dentro del argumento requieren controlar el signo
Si el argumento original es x² con x≠0, la forma que conserva el dominio es logₐ(x²)=2logₐ|x|.
Escribir 2logₐx perdería las entradas negativas permitidas por x². También distinguimos el cuadrado de un logaritmo del logaritmo de un cuadrado: son operaciones colocadas en sitios diferentes.
El argumento puede ser un cuadrado de un negativo
Resolver ln(x²)=ln9.
Dominio
x≠0.Inyectividad
x²=9.Valores
x=−3 o 3: ambos cuadrados valen nueve.
Se conservan las dos soluciones.
Sustituir de entrada por 2lnx perdería −3.
Dos cuadrados colocados en sitios distintos
Evaluar (log₂x)² y log₂(x²) en x=8.
Primero el logaritmo
log₂8=3; su cuadrado es 9.Primero el cuadrado
8²=64; log₂64=6.Comparar
9≠6.
Los paréntesis y la posición del exponente importan.
La regla de potencia del argumento no eleva el resultado del logaritmo al cuadrado.
6. Un cambio t=logₐx puede aceptar t negativos
Permite relacionar bases o expresar un resultado exacto sin reconocer una potencia entera.
En una cuadrática en logₐx, llamamos t a ese bloque. El rango del logaritmo es todo ℝ: t negativo o cero es admisible. Después regresamos a x=aᵗ>0 y revisamos otras restricciones del problema.
Una raíz auxiliar negativa sí sirve aquí
Resolver (log₂x)²−log₂x−2=0.
Cambio
x>0 y t=log₂x: (t−2)(t+1)=0.Valores
t=2 o t=−1; ambos son posibles.Regresar
x=2²=4 o x=2⁻¹=1/2.
El conjunto es {1/2,4}.
No se traslada la condición t>0 de un cambio exponencial a uno logarítmico.
Relacionar bases antes de resolver
Resolver log₄x+log₂x=3.
Cambio de base
log₄x=(log₂x)/2, con x>0.Agrupar
t/2+t=3: t=2.Regresar
x=2²=4; log₄4+log₂4=1+2=3.
La relación entre bases se justifica.
No se suman directamente logaritmos de bases diferentes como si coincidieran.
7. La cantidad de soluciones depende también del argumento
Si dentro del argumento hay una expresión compuesta, puede haber varias entradas que produzcan ese mismo valor.
Si no hay despeje elemental, continuidad y monotonía dentro del dominio permiten localizar raíces y justificar unicidad. Una aproximación numérica se distingue de una identidad exacta y no certifica por sí sola que no haya otras soluciones.
Un argumento cuadrático produce dos soluciones
Resolver log₂(x²+1)=3.
Dominio
x²+1>0 para todo real.Potencia
x²+1=8: x²=7.Valores
x=−√7 o √7.
La inyectividad del logaritmo no vuelve inyectivo a x²+1.
Ambos argumentos valen ocho.
Un caso donde se localiza sin fórmula elemental
Estudiar ln x+x=2.
Dominio
x>0; f(x)=lnx+x−2 es continua y estrictamente creciente.Cota
f(1)=−1 y f(2)=ln2>0.Conclusión
Existe una única raíz real en (1,2), que puede aproximarse por bisección.
La monotonía vale en todo el dominio.
No se intenta evaluar ln de un candidato no positivo.
8. Comprobar significa revisar existencia y después igualdad
Primero filtramos por las desigualdades de dominio. Si falla un argumento, no se evalúa el logaritmo real. Para una entrada permitida, verificamos la igualdad usando potencias conocidas o propiedades exactas.
La combinación algebraica puede producir una raíz que no regresa al enunciado. Resolver toda la auxiliar y comprobar cada candidato explica por qué la lista final es válida y completa.
Un candidato algebraico puede dejar vacía la respuesta
Resolver log₂(x−4)−log₂2=log₂(x+2).
Dominio
x>4.Auxiliar
(x−4)/2=x+2: x−4=2x+4 y x=−8.Filtrar
−8 no cumple x>4: ninguna solución real.
No se presenta −8 como respuesta del sistema logarítmico.
Sus dos argumentos variables son negativos.
Una comprobación exacta sin decimales
Verificar x=5 en log₂(x+3)−log₂(x−1)=1.
Argumentos
8 y 4, ambos positivos.
Valores
log₂8=3 y log₂4=2.Igualdad
3−2=1.
Existir y cumplir son controles separados.
No basta con decir que el cociente es positivo sin revisar ambos argumentos.
9. Leemos base, argumento y resultado incluso cuando la base es variable
La base no se multiplica por el resultado: se eleva a él. El resultado cero exige argumento uno, porque a⁰=1 para toda base admitida, nunca argumento cero.
Si la base es la incógnita, sus restricciones se mantienen después de convertir a potencia. Algunas ecuaciones así tienen infinitas bases posibles; no se fuerza una única respuesta por usar un logaritmo.
Regresar a la restricción de la base
Resolver logₓ9=2.
Dominio
x>0 y x≠1.Potencia
x²=9 da candidatos −3 y 3.Filtrar
Solo x=3 es una base válida; log₃9=2.
La raíz negativa se descarta por la base, no por el argumento.
El argumento nueve era positivo en ambos candidatos.
El resultado cero no significa argumento cero
Resolver logₓ1=0.
Base
x>0 y x≠1.Definición
x⁰=1 para todas esas bases.Conjunto
Cualquier x positivo salvo uno.
Hay infinitas soluciones.
x=1 sigue prohibido aunque la potencia 1⁰ exista.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Suma de logaritmos
Resuelve log₂(x−2)+log₂(x+2)=3.
Dominio
x−2>0 y x+2>0: x>2.Combinar
log₂[(x−2)(x+2)]=3.Potencia
x²−4=2³=8: x²=12.Candidatos
x=−2√3 o 2√3.Filtrar
Solo 2√3>2; el negativo no admite los argumentos originales.
Verificar
Ambos argumentos son positivos y su producto es 8: la suma de logaritmos vale 3.
x=2√3.
El producto de argumentos es 8 y ambos son positivos.
EJEMPLO RESUELTO 2
Logaritmo de una diferencia
Resuelve log₃(2x−1)=2.
Dominio
2x−1>0: x>1/2.Definición
log₃(2x−1)=2 equivale a 2x−1=3².Potencia
3²=9.Resolver
2x=10: x=5.Filtrar
5>1/2.Verificar
El argumento vale 9 y log₃9=2.
x=5.
log₃9=2.
Los símbolos que hemos usado
- logₐu
- Exponente y tal que aʸ=u, con a>0,a≠1,u>0.
- ln u
- Logaritmo natural, de base e.
- Dominio
- Entradas para las que cada logaritmo original está definido.
- u(x),v(x)
- Expresiones que actúan como argumentos.
- t=logₐu(x)
- Variable auxiliar cuyo valor puede ser cualquier real si el argumento lo permite.
- Candidato
- Valor obtenido tras transformar la ecuación y pendiente de verificar.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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