Un sistema pide que una misma pareja cumpla todas sus ecuaciones. Si aparece un cuadrado o un producto de incógnitas, las curvas pueden cruzarse varias veces. Vamos a sustituir sin perder ramas y a reconstruir cada pareja con sus valores correspondientes.
Si necesitas repasar:
1. No cambia qué significa solución; cambia la forma de las ecuaciones
En un sistema lineal las incógnitas aparecen con exponente uno y no se multiplican entre sí. x², xy, √x o 2ˣ rompen esa estructura. No podemos trasladar sin más el método de una matriz de coeficientes constante.
Una solución (x,y) debe cumplir cada igualdad a la vez. Dos ecuaciones y dos incógnitas no garantizan una única pareja: puede haber ninguna, una, varias o infinitas.
Reconocer qué hace no lineal al sistema
Comparar x+y=3, xy=2 y y=x².
Primera
x+y=3 es lineal.Producto
xy=2 multiplica incógnitas: no es lineal.Cuadrado
y=x² contiene una potencia dos: tampoco es lineal.
El nombre depende de los términos, no del número de letras.
Una ecuación con dos incógnitas puede definir una curva entera.
Una pareja se comprueba completa
Probar (2,4) en y=x² e y=x+2.
Parábola
4=2²: cumple.Recta
4=2+2: cumple.Conclusión
(2,4) es solución del sistema.
Cumplir solo una ecuación no bastaría.
(2,5) no cumple ninguna de estas dos.
2. Las soluciones son intersecciones dentro del dominio
Cada ecuación dibuja un conjunto de puntos; el sistema pide los comunes. Conservamos restricciones de raíces, fracciones y logaritmos aunque luego alguna expresión desaparezca.
La gráfica ayuda a ver cruces o tangencias, pero su ventana y resolución no prueban que no haya otros puntos. La reducción algebraica y la comprobación justifican los candidatos.
Una tangencia puede dar un solo punto
Resolver y=x² e y=0.
Igualar
x²=0.Recuperar
x=0 y y=0.Interpretar
La parábola toca el eje en un único punto.
La solución es (0,0).
No se duplican dos ceros por escribir x=±0.
Los conjuntos pueden no encontrarse
Resolver x²+y²=4 e y=3.
Sustituir
x²+9=4.Aislar
x²=−5.Decidir
Ningún x real tiene ese cuadrado.
No hay soluciones reales.
La recta está fuera de la circunferencia de radio dos.
3. Sustituimos un bloque entero y después recuperamos cada pareja
Si despejamos y=g(x), reemplazamos toda aparición de y por ese bloque en la otra ecuación, usando paréntesis cuando sea necesario. Resolvemos la ecuación resultante en x.
No mezclamos libremente x e y de respuestas distintas. Si ambas ecuaciones ya dicen y=f(x) e y=g(x), igualarlas es una sustitución directa.
Recta y parábola, de la gráfica al cálculo
Resolver y=x² e y=x+2.
Igualar
x²=x+2: x²−x−2=(x−2)(x+1)=0.Abscisas
x=2 o x=−1.Ordenadas
Para 2, y=4; para −1, y=1: (2,4) y (−1,1).
Dos parejas con sus valores unidos.
4=2+2 y 1=−1+2 comprueban la recta además del cuadrado.
El bloque que sustituimos puede estar al cuadrado
Resolver x+y=5 e y=x²−1.
Despejar
y=5−x.Sustituir
5−x=x²−1: x²+x−6=(x+3)(x−2)=0.Recuperar
x=−3 da y=8; x=2 da y=3.
Las soluciones son (−3,8) y (2,3).
En cada pareja y coincide con x²−1 y la suma es cinco.
4. Eliminar es útil si conservamos una ecuación original
Restar ecuaciones puede cancelar los mismos cuadrados. Para mantener equivalencia sustituimos una ecuación por esa diferencia y conservamos la otra. Si guardáramos solo la diferencia, perderíamos información.
En dos circunferencias distintas con los mismos coeficientes de x² e y², la resta produce una recta que contiene sus intersecciones. Hay que intersectarla con una circunferencia; si las ecuaciones coinciden, la resta 0=0 no da una recta nueva.
Dos circunferencias dan una recta intermedia
Resolver x²+y²=13 y (x−4)²+y²=13.
Restar
La segunda menos la primera: −8x+16=0, luego x=2.Conservar
En x²+y²=13 queda 4+y²=13.Regresar
y=±3: (2,3) y (2,−3).
La recta x=2 sola no es toda la solución.
Ambas parejas dan distancia √13 a los dos centros.
Una diferencia sin la ecuación que falta admite demasiado
Revisar (2,0) después de obtener x=2.
Diferencia
Cumple −8x+16=0.Original
2²+0²=4, que no es 13.Decisión
Se rechaza: cumplir la diferencia no basta.
Se conserva una circunferencia para reconstruir los puntos.
La operación es reversible solo junto con esa ecuación.
5. Una suma y un producto conducen a una cuadrática
Para cada raíz x recuperamos su complemento y.
Con dos raíces distintas r y s, las parejas son (r,s) y (s,r). Una raíz repetida da una sola pareja.
Los mismos números pueden cambiar de orden
Resolver x+y=7 y xy=10.
Sustituir
x(7−x)=10: x²−7x+10=0.Factorizar
(x−2)(x−5)=0.Parejas
Si x=2,y=5; si x=5,y=2.
(2,5) y (5,2) son dos parejas distintas.
En ambas la suma es siete y el producto diez.
Comparar raíz repetida con ausencia de raíces
Usar suma cuatro, producto cuatro; después suma dos, producto dos.
Primer caso
x²−4x+4=(x−2)²: solo (2,2).Segundo
x²−2x+2 tiene Δ=4−8<0.Decidir
El primero tiene una pareja; el segundo ninguna real.
El discriminante clasifica la auxiliar.
No siempre aparecen dos parejas por haber dos incógnitas.
6. Antes de dividir o sacar raíces conservamos todas las ramas
Guardar solo la raíz positiva puede perder puntos.
Dividir por una expresión que puede ser cero exige separar ese caso.
Cancelar x de entrada conservaría solo una de esas ramas.
Una división apresurada perdería una solución
Resolver xy=x e y=x².
Factorizar
x(y−1)=0.Rama x=0
y=0: pareja (0,0).Rama y=1
x²=1: (−1,1) y (1,1).
Hay tres soluciones distintas.
Las tres cumplen xy=x e y=x².
Una raíz negativa también puede dar un punto
Resolver y²=9 e x=y+1.
Ramas
y=3 o y=−3.Primera
y=3 da x=4.Segunda
y=−3 da x=−2: parejas (4,3) y (−2,−3).
Se conservan ambos signos.
No se empareja x=4 con y=−3 porque no cumpliría x=y+1.
7. No hay una regla universal de dos curvas, dos soluciones
Dos ecuaciones cuadráticas pueden tener cuatro intersecciones aisladas. Si comparten toda una curva, pueden tener infinitas. También hay sistemas que quedan imposibles por el signo de una suma de cuadrados.
Si vale cero, cada cuadrado es cero; si debe ser negativa, no hay solución. Estas observaciones pueden resolver un sistema antes de eliminar.
Cuatro combinaciones válidas, porque cada ecuación usa cuadrados
Resolver x²+y²=5 y x²−y²=3.
Sumar
2x²=8: x=±2.Restar
2y²=2: y=±1.Combinar
(−2,−1), (−2,1), (2,−1), (2,1) cumplen ambas.
Aquí las cuatro combinaciones sí son válidas.
Cada ecuación depende solo de x² e y², no de sus signos.
Un punto, ninguno o una curva entera
Comparar tres condiciones de cuadrados.
Cero
x²+y²=0 fuerza solo (0,0).Negativo
x²+y²=−1 no tiene puntos reales.Redundancia
x²+y²=1 y 2x²+2y²=2 comparten toda la circunferencia.
El número de ecuaciones por sí solo no cuenta soluciones.
La segunda ecuación del último caso no añade ninguna restricción.
8. Comprobamos ambas ecuaciones y distinguimos una aproximación
Con una reducción exacta resolvemos todas las ramas y verificamos cada pareja en el sistema inicial. Una lista de abscisas sin ordenadas no termina una pregunta sobre puntos.
En casos numéricos se declara la aproximación y se revisan residuos. Una iteración que encuentra una raíz no demuestra que sea la única: hace falta un argumento sobre la función o el dominio.
Un sistema puede necesitar una raíz numérica
Estudiar y=2ˣ e y=4−x.
Reducir
f(x)=2ˣ+x−4=0.Justificar
f es continua y estrictamente creciente; f(1)<0 y f(2)>0.Recuperar
Hay una única x en (1,2); a su aproximación se asocia y=4−x.
La monotonía justifica unicidad; la bisección permite aproximar.
Se verifican las dos ordenadas, que coincidirán dentro del error numérico declarado.
Verificar una rama positiva no verifica la negativa por escritura
Comprobar las parejas (2,3) y (2,−3) de las circunferencias.
Primera ecuación
4+9=13 para ambas.Segunda
(2−4)²+9=4+9=13 para ambas.Cobertura
La resta impuso x=2 y luego y²=9 solo admitía esas dos ramas.
La lista es válida y completa.
(−2,3) daría 36+9 en la segunda y no pertenece al sistema.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Recta y parábola
Resuelve y=x² y y=2x+3.
Igualar
x²=2x+3.Ordenar
x²−2x−3=0.Factorizar
(x−3)(x+1)=0: x=3 o −1.Recuperar
y=9 cuando x=3; y=1 cuando x=−1.Parejas
(3,9) y (−1,1).
Comprobar
9=3²=2·3+3; 1=(−1)²=2(−1)+3.
(3,9) y (−1,1).
9=2·3+3 y 1=2(−1)+3.
EJEMPLO RESUELTO 2
Dos circunferencias
Resuelve x²+y²=25 y (x−6)²+y²=25.
Desarrollar
La segunda es x²−12x+36+y²=25.Restar
Comparar con x²+y²=25: −12x+36=0.Abscisa
x=3.Conservar primera
9+y²=25: y²=16 y y=±4.Parejas
(3,4) y (3,−4).
Comprobar
9+16=25 y (3−6)²+16=25 en ambas.
(3,4) y (3,−4).
Ambos puntos distan 5 de (0,0) y de (6,0).
Los símbolos que hemos usado
- (x,y)
- Pareja ordenada que asigna valores a las dos incógnitas.
- F(x,y)=0
- Forma implícita de una ecuación con dos variables.
- Sustitución
- Reemplazo de una variable o bloque por una expresión igual a él.
- Eliminación
- Combinación de ecuaciones para suprimir una incógnita o términos comunes.
- Intersección
- Puntos que pertenecen a todas las curvas del sistema.
- Candidato
- Pareja o valor auxiliar que debe verificarse en el sistema original.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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