EJERCICIO 1 / 5Respuesta con varios valores
Tu reto 1.
Resuelve (x−3)(x+5)=0. Escribe ambas raíces.
Repasar: Un producto nulo necesita al menos un factor nulo ↗
- PISTA 1
Separar alternativas, no condiciones simultáneas
Basta con que uno de los dos factores sea cero. Escribe dos ecuaciones lineales, una por cada factor.
- PISTA 2
Despejar conservando cada signo
En x−3=0 se suma tres; en x+5=0 se resta cinco. Haz esas operaciones en ambos miembros de cada igualdad.
- PISTA 3
Reunir el conjunto completo
Escribe los dos valores separados por punto y coma. Para comprobar cada uno basta encontrar qué factor anula; el otro puede ser distinto de cero.
Un desarrollo posible.
El producto cero exige x−3=0 o x+5=0.
Las ecuaciones dan x=3 y x=−5, respectivamente.
El conjunto es {−5,3}; cada valor anula uno de los factores del producto original.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta con varios valores
Tu reto 2.
Resuelve x(x−7)=0. Escribe ambas raíces.
Repasar: Una constante no nula no añade raíces; una x sí puede hacerlo ↗
- PISTA 1
Evitar una división que excluya un caso
No sabes todavía si x vale cero. Dividir entre x antes de separar casos podría eliminar una solución.
- PISTA 2
Usar cada factor como alternativa
El primer factor es x y el segundo es x−7. Iguala cada uno a cero por separado, sin dividir por el primero.
- PISTA 3
Comprobar y reunir
Sustituye las dos candidatas en el producto original y escribe el conjunto de valores, sin exigir que ambas anulen el mismo factor.
Un desarrollo posible.
Las alternativas son x=0 o x−7=0; no se divide por x.
La segunda ecuación da x=7 y la primera conserva el cero.
El conjunto es {0,7}; sustituir ambos anula el producto x(x−7).
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Halla la raíz de (2x+6)²=0.
Repasar: Factores repetidos repiten una raíz, no un valor distinto ↗
- PISTA 1
Leer qué se eleva al cuadrado
La base completa es 2x+6. Su cuadrado solo puede ser cero cuando esa base vale cero.
- PISTA 2
Resolver la ecuación de la base
Escribe 2x+6=0. Resta seis a los dos miembros y después divide los dos miembros por el coeficiente no nulo de x.
- PISTA 3
Separar valor y multiplicidad
El exponente dos repite el mismo factor; no obliga a dividir la raíz entre dos otra vez. Comprueba que la base sea cero al sustituir.
Un desarrollo posible.
Para que (2x+6)² sea cero, la base 2x+6 debe ser cero.
Restamos 6 a ambos miembros y dividimos entre 2: 2x+6=0 da 2x=−6 y x=−3.
Es una única raíz distinta, de multiplicidad dos; en ella la base vale −6+6=0.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
¿Cuántas raíces reales distintas tiene x²(x²−4)=0?
Repasar: Factores repetidos repiten una raíz, no un valor distinto ↗
- PISTA 1
Factorizar lo que queda por resolver
El bloque x²−4 es una diferencia de cuadrados. Escríbelo como producto de dos factores lineales y conserva el factor x² exterior.
- PISTA 2
Obtener todas las candidatas
El factor x² se anula en un solo valor de x. Los otros dos factores pueden dar valores positivos o negativos distintos.
- PISTA 3
Contar números diferentes
Reúne las raíces en un conjunto antes de contarlas. El exponente de x describe repetición de un factor; no cuenta dos ceros diferentes.
Un desarrollo posible.
Factorizamos x²−4=(x−2)(x+2), dejando x²(x−2)(x+2)=0.
El factor x² aporta solo el valor 0, y los otros dos aportan 2 y −2.
Hay 3 raíces reales distintas: −2, 0 y 2. La repetición de cero no aumenta ese conteo.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
Halla la raíz positiva de x³−9x=0.
Repasar: Escogemos la factorización que muestra la estructura ↗
- PISTA 1
Extraer un factor común sin dividir
Ambos términos contienen x. Escribe la expresión como x multiplicado por el cociente que queda dentro del paréntesis, manteniendo el caso x=0.
- PISTA 2
Reconocer una diferencia de cuadrados
En el factor restante aparece x²−9. Usa 9=3² para completar su factorización y resolver cada alternativa.
- PISTA 3
Elegir después de resolver
La ecuación puede tener una raíz nula y raíces de ambos signos. Solo después de reunirlas selecciona la positiva que pide el enunciado.
Un desarrollo posible.
Ambos términos contienen x; extraemos ese factor común y obtenemos x³−9x=x(x²−9).
La diferencia de cuadrados da x(x−3)(x+3), con raíces 0, 3 y −3.
La raíz positiva pedida es 3; 3³−9·3=27−27=0 comprueba la solución.