Si dos números reales se multiplican y el resultado es cero, al menos uno de ellos debe ser cero. Esta idea permite convertir una ecuación factorizada en varias posibilidades sencillas. Primero entenderemos ese «o», después veremos cómo llegar al producto y cómo conservar todas las soluciones permitidas.
Si necesitas repasar:
1. Un producto nulo necesita al menos un factor nulo
Si ambos factores reales son distintos de cero, su producto no puede ser cero. Una manera de verlo es suponer A ≠ 0 en AB = 0: al dividir entre A queda B = 0.
No exigimos que las dos se cumplan a la vez. Al sustituir uno, el primer factor se anula; al sustituir menos tres, se anula el segundo.
Una alternativa por factor
Resuelve (x − 4)(x + 2) = 0.
Primera posibilidad
x − 4 = 0 da x = 4.Segunda posibilidad
x + 2 = 0 da x = −2.Reunimos las alternativas
Basta cualquiera de los dos valores.
x = 4 o x = −2.
Para cuatro, el segundo factor vale seis, pero el producto sigue siendo cero.
Una raíz fraccionaria
Resuelve (3x − 1)(x − 5) = 0.
Anulamos el primer factor
3x − 1 = 0, luego x = 1/3.Anulamos el segundo
x − 5 = 0, luego x = 5.
x = 1/3 o x = 5.
No se igualan los factores entre sí; cada alternativa iguala un factor a cero.
2. La condición de producto nulo solo se aplica cuando el producto vale cero
En x(x + 1) = 6 no podemos decir x = 0 o x + 1 = 0: cualquiera de esas opciones daría producto cero, no seis.
Factorizar una expresión es posible sin que esté igualada a cero; lo que necesita un cero en el otro miembro es este método de resolver mediante alternativas por factor.
Un producto igualado a otro número
Resuelve x(x − 1) = 12.
Dejamos cero al otro lado
x² − x − 12 = 0.Factorizamos la diferencia completa
(x − 4)(x + 3) = 0.Abrimos las dos posibilidades
x = 4 o x = −3.
Las soluciones son 4 y −3.
4 · 3 = 12 y (−3)(−4) = 12. Anular un factor del producto inicial no habría servido.
Un término en el otro miembro
Resuelve x² = 5x.
Restamos 5x a ambos lados
x² − 5x = 0.Extraemos x
x(x − 5) = 0.Anulamos cada factor
x = 0 o x = 5.
x = 0 o x = 5.
Dividir directamente entre x perdería cero antes de comprobar si era solución.
3. Escogemos la factorización que muestra la estructura
En x³ − 4x, ambos términos contienen x. La extraemos: x(x² − 4). Dentro aparece una diferencia de cuadrados: x(x − 2)(x + 2). Si la expresión está igualada a cero, cualquiera de esos tres factores puede anular el producto: x = 0, x = 2 o x = −2.
No hay que detenerse al abrir un primer paréntesis si un factor todavía tiene raíces que necesitamos hallar. Primero buscamos factor común; después identidades o trinomios. Podemos comprobar la factorización multiplicando de nuevo y recuperando la expresión original.
Tres factores, tres posibilidades
Resuelve x³ − 9x = 0.
Extraemos x
x(x² − 9) = 0.Factorizamos la diferencia de cuadrados
x(x − 3)(x + 3) = 0.Resolvemos cada factor
x = 0, x = 3 o x = −3.
El conjunto es {−3, 0, 3}.
El grado tres permite estas tres raíces distintas; la factorización explica cada una.
Un trinomio ya conocido
Resuelve x² + 2x − 8 = 0 por factorización.
Buscamos suma dos y producto menos ocho
Cuatro y menos dos.
Escribimos los factores
(x + 4)(x − 2) = 0.Abrimos alternativas
x = −4 o x = 2.
El conjunto es {−4, 2}.
−4 + 4 = 0 anula el primer factor y 2 − 2 = 0 el segundo.
4. Una constante no nula no añade raíces; una x sí puede hacerlo
En 7(x − 1)(x + 2) = 0, el siete nunca se anula, así que no añade una posibilidad. Podemos dividir ambos miembros entre siete y conservar las mismas soluciones. La situación es distinta si el factor es x: podría valer cero.
En x(x − 3) = 0, cancelar x sin estudiar ese caso dejaría solo x = 3 y perdería x = 0. Si queremos dividir por una expresión variable, antes debemos separar los valores que la anulan y los que no, o usar directamente el producto nulo para no perderlos.
Un coeficiente negativo tampoco crea una raíz
Resuelve −5x(x − 6) = 0.
Descartamos solo el factor constante no nulo
−5 no puede ser cero.
Revisamos los dos factores variables
x = 0 o x − 6 = 0.
x = 0 o x = 6.
Dividir entre −5 es seguro; dividir entre x sin separar cero no lo sería.
Localizar la solución perdida
Alguien resuelve x² = 2x dividiendo entre x y obtiene solo dos. Corrige la respuesta.
Comprobamos el valor omitido
x = 0 cumple 0² = 2 · 0.Usamos un paso que lo conserve
x² − 2x = x(x − 2) = 0.Reunimos ambas alternativas
x = 0 o x = 2.
Las soluciones son 0 y 2.
La división entre x solo era válida en el caso x ≠ 0, y ese caso no cubría todo el problema.
5. Factores repetidos repiten una raíz, no un valor distinto
Produce la raíz tres con multiplicidad dos. El otro factor produce menos uno. El conjunto de soluciones distintas es {−1, 3}.
Una potencia de un factor se anula cuando su base es cero, si el exponente es un entero positivo.
El exponente cuatro registra repetición algebraica, no cuatro números reales diferentes.
Dos raíces con repeticiones diferentes
Resuelve (x − 2)³(x + 4)² = 0 e indica multiplicidades.
Primer factor
x − 2 = 0 da dos, repetido tres veces.Segundo factor
x + 4 = 0 da menos cuatro, repetido dos veces.
Raíces distintas: −4 y 2. Multiplicidades: dos y tres, respectivamente.
El conjunto tiene dos elementos, aunque la suma de multiplicidades sea cinco.
La misma raíz aparece en dos factores
Resuelve (x − 1)(2x − 2) = 0.
Primer factor
x = 1.Segundo factor
2x = 2 también da x = 1.Reunimos sin duplicar
El único valor distinto es uno.
El conjunto es {1}, raíz doble del producto.
2x − 2 = 2(x − 1), así que el producto es 2(x − 1)².
6. Un factor puede no tener ningún cero real
El segundo no puede ser cero en los reales: x² ≥ 0 implica x² + 1 ≥ 1. Por tanto, ese factor no añade raíces reales y la única solución es x = 2.
No contamos automáticamente una solución por cada paréntesis. Un factor lineal no constante aporta una; un cuadrático puede aportar dos, una o ninguna, según su estructura y el conjunto numérico elegido. Aquí buscamos soluciones reales.
Dos ramas cuadráticas distintas
Resuelve (x² − 4)(x² + 9) = 0 en los reales.
Primera rama
x² = 4 da x = −2 o x = 2.Segunda rama
x² = −9 no tiene soluciones reales.
El conjunto real es {−2, 2}.
No escribimos ±3 para el segundo factor: sus cuadrados son nueve, no menos nueve.
Ningún factor puede anularse
Resuelve (x² + 1)(x² + 4) = 0 en los reales.
Revisamos el primer factor
Siempre es al menos uno.
Revisamos el segundo
Siempre es al menos cuatro.
Interpretamos el producto
Ambos son positivos para todo x real.
No tiene soluciones reales.
No basta que el producto esté igualado a cero; debe existir algún valor que anule al menos un factor.
7. Reunimos candidatos y después aplicamos el dominio original
El numerador se anula en uno o menos tres, pero uno no está permitido. Solo queda x = −3 y debe comprobarse en la fracción original.
Para un cociente igual a cero, el numerador debe valer cero y el denominador debe estar definido y ser distinto de cero. No usamos «numerador cero o denominador cero»: la segunda posibilidad impediría que existiera la expresión. Las alternativas se unen primero y las restricciones eliminan lo no permitido.
Una raíz del numerador no está permitida
Resuelve (x² − 4)/(x − 2) = 0.
Anotamos el dominio
x ≠ 2.Factorizamos y resolvemos el numerador
(x − 2)(x + 2) = 0 da candidatos dos y menos dos.Descartamos lo excluido
Dos no está permitido; menos dos sí.
Comprobamos
En menos dos, el numerador es cero y el denominador vale −4.
La única solución es x = −2.
x = 2 produciría 0/0, una expresión no definida.
Un factor recíproco nunca es cero donde existe
Resuelve (x + 2)/(x − 1) = 0.
Restringimos el denominador
x ≠ 1.Anulamos el numerador
x + 2 = 0 da x = −2.Revisamos el divisor en ese dato
−2 − 1 = −3, no nulo.
x = −2.
Hacer cero el denominador no generaría otra solución, sino un valor excluido.
8. La gráfica permite ver los ceros, las cuentas los justifican
El producto (x − 2)(x + 2) se desarrolla como x² − 4. Su gráfica tiene altura cero en las posiciones menos dos y dos. Son las mismas soluciones que encontramos anulando cada factor. El dibujo conecta el producto con sus raíces.
Una representación aproximada puede ocultar raíces muy cercanas o un punto en el que la gráfica solo toca el eje. Por eso no elegimos el conjunto de soluciones solo contando cruces a ojo. En un polinomio real, las raíces de multiplicidad par no cambian el signo del producto al atravesarlas; las de multiplicidad impar sí lo hacen.
Un toque también puede ser una raíz
La función es y = (x − 1)². ¿Es uno solución de (x − 1)² = 0 aunque la gráfica no cambie de signo allí?
Sustituimos el valor
(1 − 1)² = 0.Interpretamos la gráfica
La altura es cero: toca el eje en uno.
Sí; x = 1 es raíz doble.
Una solución requiere altura cero, no necesariamente cruzar de un lado al otro del eje.
Verificar un candidato exacto
El producto es (x − 3)(x + 2). Comprueba x = 3 sin depender de la precisión de un dibujo.
Primer factor
3 − 3 = 0.Segundo factor
3 + 2 = 5.Producto
0 · 5 = 0.
x = 3 es una raíz exacta.
Un dibujo ayuda a localizarla, pero la sustitución explica por qué el valor es exactamente tres.
9. Una suma igual a cero no sigue la regla del producto nulo
En x + (x − 2) = 0, los dos términos pueden cancelarse sin que ninguno sea cero.
No se permite resolver anulando cada sumando como alternativa.
Hay una condición distinta para una suma de términos no negativos: solo puede ser cero si todos son cero simultáneamente. En x² + (x − 1)² = 0, ambos cuadrados deberían anularse a la vez, exigiendo x = 0 y x = 1, lo cual es imposible.
Esta conclusión necesita la no negatividad; no es la regla del producto.
La cancelación entre sumandos
Resuelve x + (x − 6) = 0.
Reunimos los términos
2x − 6 = 0.Despejamos
2x = 6, luego x = 3.Comprobamos la suma original
3 + (3 − 6) = 3 − 3 = 0.
x = 3.
No hay obligación de que los dos sumandos sean cero; aquí valen tres y menos tres.
Dos cuadrados no negativos
Resuelve x² + (x − 2)² = 0 en los reales.
Usamos que ambos son no negativos
Para sumar cero, ambos tendrían que ser cero.
Revisamos las dos exigencias simultáneas
x² = 0 pide x = 0; (x − 2)² = 0 pide x = 2.Comprobamos la incompatibilidad
Un mismo x no puede ser cero y dos a la vez.
No tiene soluciones reales.
La palabra aquí es «y» por ser suma de no negativos, frente al «o» del producto nulo.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Un factor variable
Resuelve 3x²−12x=0.
Extraemos el factor común completo
3x² − 12x = 3x(x − 4).Igualamos el producto a cero
3x(x − 4) = 0.La constante tres no se anula
Solo revisamos los factores variables.
Abrimos alternativas
x = 0 o x − 4 = 0, de donde x = 4.Comprobamos ambos valores
En cero queda cero; en cuatro, 3 · 16 − 12 · 4 = 48 − 48 = 0.
x=0 o x=4.
En 0 y 4, 3x²−12x vale 0.
EJEMPLO RESUELTO 2
Raíz repetida
Resuelve (x+1)²(x−2)=0.
Identificamos los factores
(x + 1)² y x − 2.
Anulamos el primero
(x + 1)² = 0 da x = −1.Anulamos el segundo
x − 2 = 0 da x = 2.Reunimos valores distintos
El conjunto es {−1, 2}.
Registramos la repetición sin duplicar el conjunto
−1 aparece como raíz doble y dos como raíz simple del producto.
{−1,2}.
Cada valor hace cero al menos un factor.
Los símbolos que hemos usado
- P(x)=0
- Ecuación que busca los valores que anulan un polinomio.
- F(x), G(x)
- Factores de P; expresiones cuyo producto reconstruye el polinomio.
- F(x)G(x)=0
- Equivale, en reales, a F(x)=0 o G(x)=0.
- Raíz
- Valor de x para el que la expresión original vale cero.
- Multiplicidad m
- Número de repeticiones del factor x−r asociado a una raíz r.
- ∪
- Unión de conjuntos: reúne soluciones de las distintas alternativas.
- Dominio
- Valores para los que está definida la ecuación original.
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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