EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
En y=x²+5, halla el mínimo.
Repasar: La forma de vértice permite ver la entrada y el valor del extremo ↗
- PISTA 1
Acotar el cuadrado
Para x real se cumple x²≥0. La salida se obtiene añadiendo cinco a ese valor.
- PISTA 2
Comprobar si se alcanza la cota
El cuadrado puede valer cero. Evalúa la función en la entrada que lo consigue y responde con la salida mínima, no con esa entrada.
Un desarrollo posible.
La expresión x²+5 tiene cuadrado no negativo y coeficiente principal positivo.
El cuadrado alcanza cero en x=0, dejando y=5.
El mínimo global es 5 y se alcanza en la entrada 0.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
Halla la abscisa del vértice de y=2x²−8x+1.
Repasar: Completar el cuadrado revela el vértice de la forma desarrollada ↗
- PISTA 1
Traducir abscisa
La abscisa es la coordenada horizontal h del vértice. Se puede obtener con h=−b/(2a), o completando el cuadrado.
- PISTA 2
Sustituir con el signo completo
Aquí a=2 y b=−8. Escribe −(−8)/(2·2): el signo exterior cambia el de b y el denominador incluye dos veces a.
- PISTA 3
Comprobar la forma de vértice
Reorganizar la función como 2(x−h)²+k permite verificar la entrada que anula el cuadrado. No confundas esa entrada con la salida k.
Un desarrollo posible.
En 2x²−8x+1, los coeficientes son a=2 y b=−8.
La abscisa del vértice es h=−b/(2a)=8/4=2.
Completar el cuadrado da 2(x−2)²−7 y confirma el mismo h.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Halla el máximo de y=−(x+1)²+7.
Repasar: La forma de vértice permite ver la entrada y el valor del extremo ↗
- PISTA 1
Leer el signo de todo el cuadrado
El cuadrado es no negativo y el menos exterior lo convierte en una cantidad no positiva. Después se suma siete.
- PISTA 2
Localizar dónde desaparece el término negativo
Resuelve x+1=0 para hacer cero el cuadrado. Evalúa allí y responde con la salida máxima.
Un desarrollo posible.
El cuadrado (x+1)² es no negativo y está multiplicado por −1.
Por eso −(x+1)²+7≤7, con igualdad cuando x=−1.
El máximo es 7; la entrada donde se alcanza es −1, una cantidad diferente de la salida pedida.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta con varios valores
Tu reto 4.
Halla los ceros de y=x²−9.
Repasar: Los ceros anulan la salida; el corte vertical usa entrada cero ↗
- PISTA 1
Convertir la pregunta en una ecuación
Los ceros son entradas con salida cero. Plantea x²−9=0, no x=0.
- PISTA 2
Resolver las dos alternativas
Puedes escribir x²=9 o factorizar una diferencia de cuadrados. Conserva tanto el valor positivo como el negativo.
- PISTA 3
Comprobar el conjunto completo
Sustituye cada raíz en x²−9. Escribe los valores separados por punto y coma; el orden no altera el conjunto.
Un desarrollo posible.
Los ceros exigen x²−9=0, una diferencia de cuadrados.
Factorizamos (x−3)(x+3)=0, con alternativas x=3 o x=−3.
El conjunto es {−3,3}; sustituir ambos produce salida cero.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
Evalúa y=(x−2)²−3 en x=4.
Repasar: Organizamos un estudio con vértice, ceros, simetría y puntos de ambos lados ↗
- PISTA 1
Sustituir la entrada conservando la agrupación
La expresión queda (4−2)²−3. El cuadrado afecta a todo el paréntesis, no solo a la entrada cuatro.
- PISTA 2
Resolver de dentro hacia fuera
Calcula la resta interior, eleva ese resultado al cuadrado y después resta tres. Mantén ese orden al comprobar.
Un desarrollo posible.
Sustituimos x=4 conservando el paréntesis: y=(4−2)²−3.
El bloque interior es 2 y su cuadrado 4; después restamos 3.
La salida es 1, es decir, la pareja (4,1) pertenece a la parábola.