Funciones cuadráticas

Las letras a, b y c son números fijos; x es la entrada variable. Si a = 0, desaparece el término cuadrado y ya no es una función cuadrática. Su dominio numérico natural es todo ℝ.

Dos entradas opuestas comparten salida porque sus cuadrados coinciden. La gráfica es una parábola y los valores intermedios proceden de la regla, no de segmentos rectos entre esos cinco puntos.

Calcular un cuadrado requiere conservar el signo de toda la entrada: (−2)² = 4. En cambio, −x² significa el opuesto del cuadrado.

Como el cuadrado es no negativo, cuando a > 0 el valor más bajo aparece al hacer x − h = 0: x = h y f(h) = k.

No es solo una cifra.

Si a < 0, multiplicar el cuadrado por un negativo lo hace no positivo y k pasa a ser el valor más alto.

El signo dentro del paréntesis debe leerse resolviendo x − h = 0, no copiándolo sin pensar.

Por ejemplo f(x) = (x + 2)² + 3 tiene h = −2 y k = 3, porque el cuadrado se anula con x = −2. Su mínimo es tres y se alcanza en la entrada menos dos.

Si el coeficiente principal no es uno, primero lo sacamos de los términos con x.

La fórmula resume esa transformación. Después de hallar h sustituimos para obtener k: la coordenada horizontal no es todo el vértice.

Las entradas h − t y h + t están igual de lejos de h. Sus cuadrados (x − h)² coinciden, así que sus salidas son iguales. Para dibujar elegimos el vértice y puntos a ambos lados, no solo una rama.

Si a es positivo abre hacia arriba y, si negativo, hacia abajo. A la misma distancia horizontal del eje, multiplicar |a| hace mayor la separación vertical respecto de k. Con las mismas escalas de ejes, un |a| mayor hace que la curva parezca más estrecha.

Cambiar b en la forma ax² + bx + c no es una traslación horizontal aislada: puede cambiar a la vez h y k. La forma de vértice es la que permite leer con claridad cada desplazamiento.

Si a > 0, al avanzar por la izquierda hacia h disminuye la distancia |x − h| y la función decrece. Después de h esa distancia aumenta y la función crece. El mínimo k se alcanza y el recorrido es [k; ∞).

Si a < 0 ocurre al revés: crece hasta h y decrece después. El máximo es k y el recorrido (−∞; k]. El infinito no es un valor alcanzado que se incluya con corchete.

Usamos intervalos abiertos para describir los tramos estrictos a cada lado; el vértice se nombra aparte. Más adelante revisaremos qué cambia al restringir las entradas.

Los ceros resuelven f(x) = 0 y corresponden a cortes con el eje horizontal.

El punto de corte con el eje vertical se obtiene con x = 0 y es (0; −3). Son preguntas distintas.

Si D > 0 hay dos ceros reales distintos; si D = 0 uno doble; si D < 0 no hay ceros reales. La fórmula x = [−b ± √D]/(2a) se usa solo cuando la raíz sea real para estos cortes.

Una parábola puede tener vértice y recorrido aunque nunca corte el eje x. No se inventan ceros para completar el dibujo.

Al aumentar x una unidad, los aumentos de salida son 1, 3 y 5. Cambian: no hay una pendiente única para toda la parábola.

Las diferencias entre esos aumentos sí son constantes: dos. Para ax² + bx + c con pasos unitarios, la segunda diferencia es 2a; con pasos de tamaño d es 2ad². Sale de restar dos veces los valores de la fórmula, no solo de mirar puntos aislados.

Que una tabla pequeña tenga segundas diferencias constantes sugiere un modelo cuadrático en esos datos. Sin la condición de que toda la regla sea cuadrática, una lista finita no prueba el comportamiento global.

Primero comprobamos dominio y coeficientes. Después hallamos el vértice y la apertura, localizamos ceros y corte vertical y usamos simetría para obtener más puntos. La tabla debe mostrar ambos lados del eje, siempre que pertenezcan al dominio.

En f(x) = −x² + 4x = −(x − 2)² + 4, el vértice es (2; 4), abre abajo y los ceros son cero y cuatro. La figura reúne esos rasgos. Sus salidas positivas quedan entre los ceros y las negativas fuera.

Al terminar sustituimos algún punto en la fórmula original y en la transformada para comprobar que coinciden. La apariencia aproximada de una curva no reemplaza las coordenadas calculadas.

Las salidas están entre uno sin incluirlo y nueve incluyéndolo: recorrido (1; 9]. El dibujo usa un punto vacío para excluir y un punto lleno para incluir.

No basta copiar el mínimo de la parábola completa. Si el dominio es un intervalo, revisamos si h pertenece, qué valores dan los extremos admitidos y qué valores se aproximan sin alcanzarse. Un ínfimo puede existir sin ser un mínimo.

El lugar donde se alcanza un extremo es una entrada; el valor del extremo es una salida. Esa distinción sigue siendo necesaria cuando restringimos la gráfica.