EJERCICIO 1 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 1.
En y=18/x, halla y para x=3.
Repasar: La proporcionalidad inversa divide un total fijo entre la entrada ↗
- PISTA 1
Leer la regularidad del modelo
La relación conserva el producto xy=18. La fórmula despejada divide esa constante entre la entrada.
- PISTA 2
Sustituir la entrada permitida
Escribe 18/3. La entrada no es cero, por lo que el cociente está definido.
- PISTA 3
Comprobar multiplicando
Multiplica la salida candidata por la entrada tres. El producto debe recuperar la constante dieciocho.
Un desarrollo posible.
La expresión inversa y=18/x exige x≠0; el valor dado x=3 está permitido.
Sustituimos la entrada dada en el denominador: y=18/3=6.
El producto 3·6=18 reconstruye la constante del modelo.
EJERCICIO 2 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 2.
En N(t)=20·3ᵗ, halla N(2).
Repasar: Un factor por paso se escribe como una potencia ↗
- PISTA 1
Separar cantidad inicial y factor
Veinte multiplica a toda la potencia. La entrada t=2 indica cuántos factores tres se acumulan desde el instante cero.
- PISTA 2
Desarrollar la potencia
Escribe 20·(3·3). Elevar al cuadrado no significa multiplicar la base por el exponente.
- PISTA 3
Contar los cambios
Revisa dos saltos desde veinte, multiplicando cada vez por tres. El estado inicial se cuenta, pero no añade un tercer salto.
Un desarrollo posible.
La cantidad inicial es 20 y el factor por período 3; se pide t=2.
Evaluamos primero el factor de dos períodos y después la cantidad: N(2)=20·3²=20·9=180.
El recorrido 20→60→180 contiene dos multiplicaciones y confirma el resultado.
EJERCICIO 3 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 3.
Una cantidad se reduce a la mitad cada hora. Empieza en 80. ¿Cuánto queda tras 3 horas?
Repasar: Un cambio porcentual constante repite un factor, no un importe ↗
- PISTA 1
Traducir el cambio por período
Reducirse a la mitad significa multiplicar la cantidad vigente por 1/2 en cada hora.
- PISTA 2
Contar tres factores desde el inicio
Escribe 80·(1/2)³. También puedes formar tres flechas sucesivas, dividiendo entre dos en cada una.
- PISTA 3
Distinguir estados y horas
El dato ochenta corresponde a cero horas. Tras tres cambios debe haber cuatro estados anotados, incluido el inicial.
Un desarrollo posible.
La cantidad inicial es 80 y el factor horario de reducción es 1/2.
Tras tres horas, 80·(1/2)³=80/8=10.
La secuencia 80→40→20→10 verifica tres reducciones y evita restar siempre la misma cantidad.
EJERCICIO 4 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 4.
En y=k/x, el punto (4,7) pertenece a la gráfica. Halla k.
Repasar: La proporcionalidad inversa divide un total fijo entre la entrada ↗
- PISTA 1
Mantener el orden de la pareja
El punto aporta entrada cuatro y salida siete. Ambos datos deben satisfacer y=k/x.
- PISTA 2
Despejar antes de sustituir
Multiplica la igualdad por x, que aquí no es cero: xy=k. Usa el producto, no la razón propia de una proporcionalidad directa.
- PISTA 3
Comprobar en la fórmula
Introduce la constante encontrada en k/4. Debe devolver la salida siete del punto dado.
Un desarrollo posible.
En y=k/x, todo punto permitido cumple xy=k.
Sustituimos las dos coordenadas del punto en el producto constante: k=4·7=28.
Sustituir en y=28/x con x=4 produce 7, comprobando la constante.
EJERCICIO 5 / 5Respuesta comprobable
Tu reto 5.
Para y=5·2ˣ, ¿por qué factor cambia y cuando x aumenta dos unidades?
Repasar: Para reconocer un factor constante los pasos de entrada deben ser iguales ↗
- PISTA 1
Distinguir factor y valor final
Se pide la razón entre la salida nueva y la anterior, no una salida para una entrada concreta.
- PISTA 2
Comparar las dos potencias
Escribe [5·2^(x+2)]/[5·2^x]. El factor inicial se cancela y queda la potencia correspondiente al salto de dos unidades.
- PISTA 3
Revisar el cambio unidad a unidad
Cada aumento de una unidad duplica la salida. Dos aumentos encadenan dos duplicaciones; no suman simplemente los factores.
Un desarrollo posible.
Al aumentar la entrada dos unidades, la salida se transforma en 5·2ˣ⁺².
La ley de potencias da 5·2ˣ·2², es decir, la salida inicial multiplicada por 4.
El factor es 4; el coeficiente 5 no cambia la razón entre esas dos salidas.