Proporcionalidad inversa y crecimiento exponencial

Si cada paso de una unidad añade siempre tres a la salida, hay diferencia constante. Si al duplicar la entrada la salida se divide entre dos y el producto se conserva, hay proporcionalidad inversa. Si cada paso de entrada multiplica la salida por dos, hay crecimiento exponencial.

El sentido de cambio solo es una pista: una recta y una exponencial pueden crecer, y una inversa positiva y una exponencial de decaimiento pueden bajar. Para distinguirlas calculamos diferencias, productos o factores en entradas igualmente espaciadas cuando corresponda.

Un trabajo ideal de veinticuatro máquinas-hora necesita t = 24/x horas con x máquinas idénticas trabajando a la vez. x y t son positivos y su producto xt = 24. Con dos máquinas son doce horas; con cuatro, seis; con ocho, tres.

Para un K positivo, duplicar una entrada positiva divide la salida entre dos; multiplicarla por tres divide entre tres.

En la aplicación, además, el número de máquinas completas es entero.

Tampoco hay salida cero: 6/x = 0 exigiría que seis fuera cero al multiplicar por una entrada no nula. El dominio y la imagen son ℝ sin el cero.

Para x positiva, y es positiva; para x negativa, y negativa. Cada rama desciende al avanzar x dentro de ella. No llamamos decreciente a toda la función sobre el dominio desconectado sin matizar: pasar de una entrada negativa a una positiva salta de una salida negativa a una positiva.

Al tomar entradas de gran magnitud, las salidas se acercan a cero sin alcanzarlo. Al acercar x a cero, las salidas crecen mucho en magnitud. Los ejes son asíntotas: guían ese acercamiento, no son partes que la curva deba tocar. El modelo de máquinas solo utiliza la rama positiva y entradas permitidas.

Una colonia ideal empieza con cuarenta individuos y se duplica cada periodo completo. Los valores son 40, 80, 160, 320… Después de n periodos hay 40 · 2ⁿ. La variable está en el exponente y el factor dos se repite n veces.

El modelo general es y = A bˣ, con A positivo y b positivo. b > 1 produce crecimiento; 0 < b < 1, decaimiento. b = 1 es el caso constante y se separa de las exponenciales que cambian.

Para la función exponencial real definida en todo ℝ necesitamos base positiva. (−2)ⁿ sí define una regla en enteros, con signos alternos, pero no se convierte en una función real definida para todo exponente real. En −2ˣ, el signo exterior significa −(2ˣ): la base sigue siendo dos.

Crecer un p % por periodo significa multiplicar por b = 1 + p/100. Decaer un p %, con 0 < p < 100, significa b = 1 − p/100, un número entre cero y uno. En ambos casos el porcentaje actúa sobre la base actualizada.

En el dibujo, 2ˣ multiplica por dos y (1/2)ˣ divide entre dos por cada paso unitario. Ambas pasan por (0; 1) y sus salidas son siempre positivas. Se aproximan al eje horizontal hacia un extremo sin convertirse en cero.

Una cantidad física o población puede imponer dominio n entero no negativo o un plazo limitado. La curva para todos los reales es una extensión matemática; decidir si también describe instantes intermedios requiere un modelo del proceso.

En una tabla con x = 0, 1, 2, 3 y salidas no nulas 3, 6, 12, 24, los cocientes consecutivos son dos.

Sus diferencias son 3, 6 y 12: no son constantes.

Si las entradas avanzan de dos en dos, el cociente es b² y no b. Antes de leer un factor por unidad revisamos el tamaño del paso. Unas pocas filas compatibles sugieren un modelo, pero no demuestran que toda la regla siga igual fuera de los datos.

En ejes lineales, marcas igualmente separadas representan diferencias iguales. Una exponencial no forma una recta en esas escalas. En un eje con marcas 1, 10, 100, 1000 a distancias iguales, esas distancias representan multiplicar por diez, no sumar diez: es una escala logarítmica.

En una escala logarítmica vertical esas alturas están igualmente separadas y los puntos se alinean. El proceso no dejó de ser exponencial: cambió la forma de representar la salida.

Al multiplicar A por un factor en y = A bˣ, todas las salidas se escalan por ese factor. El factor por paso b se mantiene. Igual que con las escalas de un plano, los números escritos en el eje importan más que la distancia visual aislada.

En un recuento tras periodos completos usamos n = 0, 1, 2…; no aceptamos automáticamente una población fraccionaria como un recuento exacto. En un trabajo con máquinas completas, x es entero positivo y el tiempo puede ser fraccionario.

Si se pide acabar antes de un límite, una entrada fraccionaria puede servir como umbral para elegir el entero que cumple la condición. Volvemos después a la fórmula para comprobar que el tiempo o la cantidad realmente satisface el enunciado.

Al resolver un modelo exponencial, primero dividimos por A y después buscamos el exponente que produce el factor. Para periodos enteros pequeños podemos reconocer potencias; los logaritmos permiten deshacer exponentes en casos más generales.

Para pasos iguales, una regla lineal tiene diferencia de salida constante; una proporcionalidad inversa, producto entrada por salida constante; una exponencial no nula, cociente entre salidas consecutivas constante. Los ceros y el dominio se revisan antes de dividir.

No es obligatorio que toda tabla encaje en uno de esos tres tipos. Una cuadrática u otra regla puede producir patrones distintos. Reconocer que un modelo no encaja es una conclusión matemática válida.