Si f es par y f(3)=7, calcula f(−3).
La salida no cambia.
La paridad exige f(−x)=f(x) para cada entrada y su opuesta en el dominio.
Aplicamos esa identidad con x=3, cuya salida dada es f(3)=7.
Si f es impar y f(2)=5, calcula f(−2).
Cambia el signo de la salida.
Con x=2 y f(2)=5, la salida en la entrada opuesta es el negativo de cinco.
La identidad de imparidad da por tanto f(−2)=−5, la salida opuesta a la del dato inicial.
Integral de x³ en [−2,2].
Es impar y el intervalo es simétrico.
La función x³ es impar y continua, así que es integrable en el intervalo simétrico [−2,2].
Las contribuciones negativas de [−2,0] se cancelan con las positivas de [0,2].
La integral vale 0; también lo verifica la primitiva x⁴/4, que toma el mismo valor en ambos extremos.
Clasifica f(x)=x²+x.
Calcula f(−x) y compáralo con f(x) y −f(x).
El dominio ℝ es simétrico y sustituir la entrada opuesta en todos los términos produce f(−x)=x²−x.
Esa expresión no coincide para todo x con f(x)=x²+x; por ejemplo, en x=1 los valores son 0 y 2.
La función no es par ni impar.
Prueba que producto de dos funciones impares es par en su dominio simétrico común.
Aplica ambas identidades de imparidad.
Sea h=fg en el dominio simétrico común, de modo que ambas identidades de imparidad son válidas.
Los dos signos se cancelan y queda h(−x)=f(x)g(x)=h(x), demostrando que el producto es par.