Para buscar una simetría comparamos las entradas x y −x. A veces tienen la misma altura; otras, alturas de signo contrario. Primero comprobaremos que ambas entradas existen y después veremos qué transformación hace coincidir las gráficas.
Si necesitas repasar:
1. El dominio tiene que permitir la entrada y su opuesta
Antes de comparar f(x) con f(−x), necesitamos que si x pertenece al dominio, −x también pertenezca. Eso es un dominio simétrico respecto a cero. ℝ, [−3,3] y ℝ sin cero lo son.
La paridad pertenece a la función con su dominio, no solo a una fórmula. Bajo esta convención, x² restringida a [0,∞) no se clasifica como función par porque faltan las entradas negativas correspondientes.
Una fórmula conocida en dos dominios distintos
Comparar x² en ℝ y en [0,∞).
Todo ℝ
Si está 2, también está −2: podemos comparar.
Solo no negativos
Está 2 pero no −2.
Decisión
La primera admite el estudio de paridad; la segunda no tiene dominio simétrico.
No basta con reconocer una potencia par.
El dominio [0,∞) no contiene todas las entradas opuestas.
Una exclusión puede conservar simetría
Revisar f(x)=1/x.
Dominio
ℝ sin cero.
Opuestas
Si x≠0, también −x≠0.Comparar
f(−x)=1/(−x)=−1/x.
Es impar aunque no esté definida en cero.
Una función impar solo está obligada a valer cero allí si cero pertenece al dominio.
2. Par conserva la salida; impar cambia su signo
Par significa f(−x)=f(x) para toda entrada del dominio. Los puntos (x,y) y (−x,y) reflejan respecto al eje vertical.
Los puntos (x,y) y (−x,−y) coinciden mediante media vuelta alrededor del origen. f(−x) cambia la entrada; −f(x) cambia el signo de toda la salida.
Una sustitución completa descubre un espejo
Clasificar f(x)=x²+2 en ℝ.
Entrada opuesta
f(−x)=(−x)²+2.Simplificar
x²+2=f(x).Interpretar
Las entradas ±1 tienen ambas salida tres.
Es par respecto al eje vertical.
No se cambió el signo del 2 porque solo se sustituyó x.
Un cubo conserva el signo de la entrada
Clasificar g(x)=x³/2.
Sustituir
g(−x)=(−x)³/2.Signo
−x³/2=−g(x).Interpretar
g(2)=4 y g(−2)=−4: puntos opuestos respecto al origen.
Es impar.
No es un reflejo solo respecto al eje horizontal.
3. También puede no ser ninguna; la función cero es ambas
Las potencias pares son pares y las impares son impares en ℝ. |x| y cosx son pares; sinx y tanx son impares en sus dominios simétricos, con los puntos de la tangente excluidos donde corresponda.
Si una función impar está definida en cero, f(0)=−f(0) obliga a f(0)=0. Eso no basta para demostrar imparidad. Si una función es a la vez par e impar, f(x)=−f(x) y todos sus valores son cero.
Pasar por el origen no demuestra imparidad
Clasificar f(x)=x²+x.
Opuesta
f(−x)=x²−x.Comparaciones
No coincide con x²+x ni con −x²−x como identidad.
Contraejemplo
f(1)=2 y f(−1)=0: no son iguales ni opuestos.
No es par ni impar, aunque f(0)=0.
Para refutar cada identidad basta este par válido.
Un caso que cumple las dos definiciones
f(x)=0 en un dominio simétrico.
Par
f(−x)=0=f(x).Impar
f(−x)=0=−f(x).Unicidad
Si ambas propiedades valen, 2f(x)=0 para cada x: solo puede ser la función nula.
Par e impar no son categorías excluyentes en este caso.
La conclusión usa que los valores son reales.
4. Sumar y multiplicar exige seguir el signo de la salida
En un dominio común simétrico, par más par es par; impar más impar es impar. En productos: par por par es par, impar por impar es par y par por impar es impar.
En cocientes se siguen los mismos signos, con denominador no nulo y dominio resultante simétrico. Mezclar una parte par no nula y otra impar no nula produce una función que no es ninguna de las dos en ese dominio.
Dos signos negativos se multiplican en positivo
Multiplicar dos funciones impares u y v.
Sustituir
(uv)(−x)=u(−x)v(−x).Aplicar reglas
(−u(x))(−v(x))=u(x)v(x).Concluir
El producto es par.
Se demuestra para todas las entradas comunes.
El ejemplo x·x³=x⁴ muestra el mismo patrón.
Una razón con denominador positivo
Clasificar h(x)=x³/(1+x²).
Dominio
1+x²>0 para todo real.Sustituir
h(−x)=−x³/(1+x²).Comparar
−h(x): es impar.
El dominio no perdió simetría.
No se cambia de signo un denominador que contiene x².
5. En composiciones miramos primero la función interior
Si g es par, g(−x)=g(x), así que f(g(−x))=f(g(x)) donde la composición esté definida: resulta par. Si g es impar, una exterior par da composición par y una exterior impar da impar.
Trasladar horizontalmente puede mover el centro de simetría. (x−2)² se refleja respecto a x=2, pero no es par respecto a cero. Repetir valores por periodicidad tampoco es lo mismo que comparar x y −x.
Una interior par impone la igualdad de entradas para la exterior
Componer g(x)=x² con f(t)=t+3.
Interior
g(−x)=g(x).Exterior
f(g(x))=x²+3.Comparar
La composición conserva su salida al cambiar x por −x.
Es par aunque f(t)=t+3 no sea par en ℝ.
La exterior recibe exactamente el mismo número en ambas entradas.
Un espejo desplazado no es paridad respecto a cero
Revisar q(x)=(x−2)².
Dos entradas
q(1)=1 y q(−1)=9.Refutar paridad
Las salidas no son iguales ni opuestas.
Otra simetría
q(2−h)=h²=q(2+h): el eje del espejo es x=2.
Tiene una simetría, pero no la que define ser par o impar.
Nombramos el eje o centro concreto.
6. Cualquier función de dominio simétrico se separa en parte par e impar
Cambiar x por −x conserva la primera y cambia el signo de la segunda.
Sumarlas recupera f porque las copias opuestas de f(−x) se cancelan. La separación es única: evaluar una supuesta suma par+impar en x y −x y después sumar o restar fuerza esas fórmulas.
Separar un polinomio que no tiene una sola paridad
f(x)=x²+x+2.
Opuesta
f(−x)=x²−x+2.Media de la suma
[2x²+4]/2=x²+2: parte par.Media de la diferencia
[2x]/2=x: parte impar.
f=(x²+2)+x en todo ℝ.
En x=1, las salidas tres y uno suman cuatro.
Comprobar las propiedades sin un polinomio concreto
Usar las fórmulas generales.
Parte par
fₑ(−x)=[f(−x)+f(x)]/2=fₑ(x).Parte impar
fₒ(−x)=[f(−x)−f(x)]/2=−fₒ(x).Recuperar
fₑ(x)+fₒ(x)=2f(x)/2=f(x).
La prueba solo necesita poder evaluar ambas entradas.
No presupone continuidad o derivabilidad.
7. Cuando estudiamos derivadas, la simetría cambia de tipo
Si f es derivable en un dominio abierto simétrico y es par, derivar f(−x)=f(x) da −f′(−x)=f′(x): su derivada es impar.
La derivabilidad es necesaria en cada punto; una simetría no inventa una derivada donde no existe.
Una derivada cambia espejo por media vuelta
f(x)=x⁴.
Paridad inicial
f(−x)=x⁴=f(x).Derivar
f′(x)=4x³.Comparar
f′(−x)=−4x³=−f′(x).
La derivada es impar.
El signo de la regla de la cadena explica el cambio.
Una esquina necesita tratarse aparte
f(x)=|x|.
Paridad
Es par en ℝ.
En cero
Las pendientes laterales son −1 y 1: no hay derivada.
Fuera de cero
Su derivada es −1 a la izquierda y 1 a la derecha: impar en ℝ sin cero.
No se asigna un valor ficticio a f′(0) para completar la regla.
El dominio donde existe la derivada sigue siendo simétrico.
8. En integrales simétricas importan el signo y la existencia
Si f es integrable en [−a,a], la integral de una impar es cero; para una par es dos veces la integral de cero a a. Se separan ambas mitades y se cambia x por −x.
Una integral con signo no es un área geométrica: esta usa |f|. Tampoco se cancela una integral impropia divergente por ser simétrica; primero debe existir en el sentido que se esté usando.
Usar simetría después de comprobar integrabilidad
Integrar x³ y x² en [−2,2].
Existencia
Son continuas en todo el intervalo, luego integrables.
Impar
La integral de x³ es cero.
Par
La de x² es 2·[x³/3] de 0 a 2: 16/3.
La misma frontera no obliga al mismo resultado.
Las contribuciones de x² se refuerzan, no se cancelan.
Una simetría no hace converger una integral
Estudiar 1/x a través de cero.
Paridad
Es impar en ℝ sin cero.
Problema
Las dos integrales impropias separadas a cada lado de cero no convergen finitamente.
Distinción
Una cancelación con recortes simétricos da valor principal cero, pero no la integral impropia ordinaria.
No se resta infinito con infinito para declarar un área o integral nula.
La hipótesis de integrabilidad del atajo no se cumple.
Cancelación de signos no significa ausencia de área
Usar f(x)=x en [−1,1].
Integral con signo
Las dos mitades opuestas dan total cero.
Área
Cada mitad dibuja un triángulo de base uno y altura uno: área 1/2.
Sumar áreas
El área geométrica total es 1.
Son dos preguntas distintas.
Integrar |x| cuenta ambas zonas positivamente.
Ahora lo resolvemos de principio a fin.
EJEMPLO RESUELTO 1
Comprobar una simetría
Clasifica f(x)=x⁴−3x².
Dominio
x⁴−3x² está definida en todo ℝ, simétrico.
Sustituir
f(−x)=(−x)⁴−3(−x)².Potencias
(−x)⁴=x⁴ y (−x)²=x².Comparar
f(−x)=x⁴−3x²=f(x).Conclusión
Es par.
Interpretar
La gráfica se refleja respecto al eje vertical.
Es par.
Los exponentes pares conservan el signo.
EJEMPLO RESUELTO 2
Un cociente impar
Clasifica f(x)=x/(1+x²).
Dominio
1+x²>0: todo ℝ.Sustituir
f(−x)=−x/[1+(−x)²].Simplificar
−x/(1+x²).
Comparar
Es −f(x) para todo real.
Conclusión
Es impar.
Comprobar
f(0)=0, coherente con la propiedad; esa coincidencia sola no sería la prueba.
Es impar.
La función toma cero en el origen.
Los símbolos que hemos usado
- D simétrico
- Dominio donde x∈D implica −x∈D.
- Función par
- Cumple f(−x)=f(x) para todo x del dominio simétrico.
- Función impar
- Cumple f(−x)=−f(x) para todo x del dominio simétrico.
- fₑ
- Parte par: [f(x)+f(−x)]/2.
- fₒ
- Parte impar: [f(x)−f(−x)]/2.
- a>0
- Extremo positivo de un intervalo simétrico [−a,a].
Ahora te toca a ti.
Tienes cinco ejercicios. Inténtalos; las pistas te ayudan si te atascas.
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