Diferencia hacia delante de x² en x=1 con h=0,1.
Calcula (1,1²−1)/0,1.
La diferencia hacia delante es [(1,1)²−1²]/0,1.
El cociente vale 2,1; la derivada exacta es 2.
Trapecio para f(x)=x en [0,4].
Es exacto para una recta.
En [0,4] el ancho es 4 y las alturas son 0 y 4.
Da 8, exacto porque la función es lineal.
Simpson en [0,2] para x², con nodo medio 1.
Usa (b−a)[f(a)+4f(m)+f(b)]/6.
Simpson usa valores 0, 1 y 4 en los tres nodos.
Si un error de orden h² es 0,04, ¿cuál se espera aproximadamente al dividir h por dos?
El factor esperado es 1/4 en el régimen asintótico.
En el régimen de un término dominante Ch², sustituir h por h/2 lo divide entre cuatro.
Es la estimación esperada, condicionada al régimen asintótico.
Explica por qué h=10⁻²⁰ puede dar peor derivada que h=10⁻⁵ en doble precisión.
La fórmula resta valores cercanos antes de dividir por h.
Un h muy pequeño puede hacer que x+h o los valores de f se redondeen al mismo número.
La diferencia conserva entonces poca información y dividir por h amplifica el error de evaluación.
El paso menor reduce truncamiento pero puede empeorar redondeo; hace falta equilibrar ambos.