Cuadratura y derivación numérica

Para h>0 fijo, el cociente es la pendiente de la secante entre dos puntos. Calculamos primero los nodos, después sus valores, luego la diferencia vertical y finalmente dividimos por la separación horizontal.

Necesitamos que ambos nodos pertenezcan al dominio. Si conocemos solo muestras, no podemos pedir valores en cualquier lugar sin disponer de un modelo adicional. Tampoco llamamos exacta a una pendiente instantánea solo por calcular correctamente una secante: el error puede venir de usar un intervalo de ancho finito.

Esto explica el orden uno: la cota disminuye proporcionalmente a h.

La diferencia hacia atrás es D₋f=[f(x)−f(x−h)]/h; tiene una cota análoga, con los nodos al otro lado. En un extremo del dominio puede ser la opción disponible. O(h) describe una tasa bajo hipótesis y con constantes; no proporciona por sí solo un número de error ni permite ignorar el redondeo.

En Taylor los términos constantes se cancelan, los lineales suman 2hf′(x), los cuadráticos vuelven a cancelarse.

El ancho entre los nodos es 2h. La fórmula tiene orden dos bajo esas hipótesis y es exacta para polinomios de grado ≤2 en aritmética real, porque su tercera derivada es cero. En un borde quizá falte uno de los nodos: no se inventa su muestra ni se asume que un valor fuera del dominio existe.

Si cada muestra tiene error absoluto ≤ε, la resta hacia delante puede introducir hasta 2ε en su numerador, que al dividir pasa a 2ε/h. En la central la cota correspondiente es ε/h. Estos efectos se añaden al truncamiento y a otros errores de las operaciones. Un modelo orientativo es C₁hᵖ+C₂ε/h.

Para constantes positivas, minimizar ese modelo da h=(C₂ε/(pC₁))^(1/(p+1)). Es una escala orientativa con unidades y constantes concretas, no una receta universal para cualquier función. Si x+h se redondea al mismo número que x, los dos nodos ya no son distintos dentro de la máquina. Comparar pasos ayuda a diagnosticar, pero no reemplaza una cota.

En [a, b] reemplazamos la función por la recta que une sus valores extremos.

Si hay valores negativos, hablamos de integral con signo, no de área geométrica positiva sin más. Para una función afín, la cuerda coincide con la función y la regla es exacta.

Se obtiene integrando el resto de interpolación lineal y usando el signo fijo de (x−a)(x−b); una cota es M₂(b−a)³/12. Al sumar n paneles de ancho h en un intervalo fijo, la cota pasa a M₂(b−a)h²/12: error de panel cúbico y error compuesto cuadrático. En una curva convexa la cuerda queda encima y T≥I.

Para ver los pesos, cambiamos a nodos −1,0,1: las bases de Lagrange son t(t−1)/2, 1−t² y t(t+1)/2; sus integrales son 1/3,4/3,1/3. El cambio de escala multiplica por (b−a)/2. La parte cúbica impar respecto del centro se anula tanto en la integral como en la suma: por eso también es exacta en grado tres.

En la regla compuesta uniforme, con número par de subintervalos de ancho h, agrupamos paneles de dos pasos y los pesos son 1,4,2,4,…,2,4,1, multiplicados por h/3. La cota global es M₄(b−a)h⁴/180. Saltos o singularidades pueden invalidar estas cotas clásicas.

Entonces Q_{h/2}−I tiene aproximadamente 1/2ᵖ del error principal de Q_h. La estimación del error fino es (Q_h−Q_{h/2})/(2ᵖ−1), con signo según ese convenio. Richardson combina R=(2ᵖQ_{h/2}−Q_h)/(2ᵖ−1) para cancelar el término principal.

Que haya una expansión apropiada importa: redondeo, ruido, falta de suavidad o muestras que omiten oscilaciones pueden hacer engañosa la comparación. Las reglas adaptativas comparan estimaciones locales y distribuyen tolerancias, pero necesitan sus propios supuestos y controles. Una diferencia pequeña entre dos cuadraturas no constituye por sí sola una garantía universal.

Una perturbación de amplitud ε puede tener derivada grande si oscila rápido: para ε sin(ωx), la derivada tiene amplitud ε|ω|. Su integral sobre un intervalo tiene magnitud como máximo 2ε/|ω| cuando ω≠0. Esto explica por qué pequeñas diferencias de muestras ruidosas pueden dar pendientes muy poco fiables.

La integración amortigua ciertas oscilaciones por cancelación, pero no elimina un sesgo constante. Al informar una aproximación indicamos fórmula, nodos, paso, precisión de las muestras y control del error. Separamos siempre error de truncamiento, error en los datos y error aritmético.