Interpolación, ajuste y aproximación

Un nodo xᵢ es una entrada conocida; yᵢ es el valor asociado.

Ajustar elige una familia y un criterio de discrepancia; por ejemplo, mínimos cuadrados permite separaciones verticales y minimiza la suma de sus cuadrados.

Si los valores son exactos, reproducirlos puede ser útil. Si contienen ruido, obligar a pasar por todos puede perseguir ese ruido. Ni una línea ni una curva son siempre mejores: declaramos el significado de los datos, la familia elegida y el lugar donde queremos predecir. Suavidad visual no demuestra exactitud ni causalidad.

Dados n+1 nodos distintos, existe un único polinomio de grado como máximo n que reproduce sus valores. La siguiente sección construirá uno. Para la unicidad, si p y q cumplieran los datos, p−q tendría n+1 raíces distintas y grado a lo sumo n. Un polinomio no nulo no puede tener más raíces distintas que su grado; por tanto p−q=0.

Como máximo no significa exactamente: los datos pueden quedar en una recta o una constante. Repetir un nodo no añade una condición independiente si el valor coincide; si los valores difieren, la interpolación de una función es imposible. Dar además derivadas conduce a otra tarea, como Hermite, con condiciones diferentes.

Cada denominador es no nulo por tener nodos distintos. En su propio nodo todos los factores valen uno; en otro nodo uno de los numeradores vale cero. Así p(x)=ΣᵢyᵢLᵢ(x) conserva exactamente el dato que corresponde en cada nodo y demuestra existencia.

La misma curva puede escribirse de otras formas. La baricéntrica usa wᵢ=1/∏ⱼ≠ᵢ(xᵢ−xⱼ) y p(x)=[Σwᵢyᵢ/(x−xᵢ)]/[Σwᵢ/(x−xᵢ)] fuera de los nodos; en un nodo devolvemos directamente su yᵢ, evitando divisiones por cero. Las diferencias divididas de Newton organizan una construcción incremental. Cambiar de representación no cambia el polinomio exacto, pero sí puede cambiar coste y redondeo.

Si f tiene n+1 derivadas continuas en un intervalo que contiene los nodos y x, entonces f(x)−p(x)=f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)∏ᵢ(x−xᵢ)/(n+1)! para algún ξ de ese intervalo. Si x coincide con un nodo el error es cero directamente. Para otro x, restamos al error un múltiplo de ∏(t−xᵢ) que lo anule también en x; aplicar Rolle n+1 veces produce la fórmula.

Una cota necesita controlar tanto la derivada como el producto de distancias. Aumentar grado en nodos equiespaciados puede aumentar oscilaciones cerca de los extremos. Nodos adaptados, interpolación por tramos o splines ofrecen otras opciones bajo hipótesis propias. Fuera del intervalo observado el producto puede crecer: extrapolar requiere un control adicional.

En cada nodo evaluamos las funciones base: Aᵢⱼ=φⱼ(xᵢ). El vector b contiene los datos yᵢ. Entonces Ac contiene las predicciones y r=Ac−b sus residuos, con este convenio de signo.

Lineal en parámetros no significa que p sea una recta respecto de x: a+b x² sigue siendo lineal en a, b. Una ponderación minimiza Σwᵢrᵢ², con pesos positivos declarados; equivale a multiplicar filas por √wᵢ. Regularizar o imponer restricciones cambia la tarea. No introducimos estos cambios después para justificar una curva ya elegida.

Esto justifica el mínimo global, no solo un punto crítico.

Si las columnas de A son independientes, ‖Ad‖²>0 para todo d≠0 y los coeficientes son únicos. Con rango deficiente la predicción óptima Ac sigue siendo la única proyección de b sobre el espacio columna, pero distintos coeficientes pueden producirla. La SVD permite estudiar el rango y escoger, por ejemplo, la solución de norma mínima.

Con rango columna completo, los valores singulares σⱼ de A son positivos y los autovalores de AᵀA son σⱼ².

Formar las ecuaciones normales puede empeorar la sensibilidad al redondeo. QR y SVD permiten resolver mínimos cuadrados sin formar ese producto; no eliminan el condicionamiento inherente de los datos.

En QR reducida, A=QR con columnas de Q ortonormales y R triangular invertible; resolver Rc=Qᵀb obtiene el ajuste. La parte de b perpendicular a las columnas de Q no puede representarse con Ac. Centrar y escalar columnas puede mejorar su representación, pero los coeficientes deben interpretarse al volver a las variables originales.

El error en los datos usados se llama error de entrenamiento. Añadir parámetros puede reducirlo sin mejorar la predicción. Una validación independiente reserva observaciones que no participaron en elegir la familia ni ajustar coeficientes. Incluso esa validación respalda un ámbito de uso; no demuestra una ley universal.

Revisamos además unidades, dominio y restricciones físicas. Un interpolante con residuo cero solo reproduce los nodos. Existen infinitas funciones que coinciden en una tabla finita. Una extrapolación se presenta condicionada al modelo, especialmente cuando cambia el régimen físico o aumenta la incertidumbre.