v=(3,4). ¿Norma euclídea?
Raíz de la suma de cuadrados.
En coordenadas ortonormales, la norma es√(v₁²+v₂²).
Con(3,4) se obtiene√(9+16).
La norma es 5. En una base no ortonormal habría que usar la métrica correspondiente.
A=diag(2,7). ¿Traza tras un cambio de base?
La traza es invariante por semejanza.
La matriz representa un operador y el cambio de base actúa por semejanza.
A=diag(3,4). ¿Determinante tras un cambio de base?
El determinante se conserva.
El determinante de un operador se conserva por semejanza.
Para diag(3,4), el valor es 12.
¿Toda matriz invertible satisface Q⁻¹=Qᵀ? Sí o no.
Eso caracteriza ortogonalidad, no mera invertibilidad.
Toda matriz ortogonal tiene inversa igual a su traspuesta, pero la invertibilidad sola no lo exige.
La respuesta es no.
Demuestra invariancia del producto escalar bajo Q ortogonal.
Usa Q Qᵀ=I para las componentes nuevas.
La traspuesta del primer factor da vᵀQ y queda vᵀQQᵀw.
La ortogonalidad es la hipótesis que permite la cancelación.