Cálculo tensorial y cambio de coordenadas

Una base contiene vectores e₁,…, eₙ. Escribir v=Σvⁱeᵢ significa sumar cada base multiplicada por su componente. Fijamos esta convención: las columnas de Q son las bases nuevas expresadas en la base antigua, e′=eQ. El objeto v permanece igual en un cambio pasivo.

Si v y v′ son columnas de componentes antiguas y nuevas, reconstruir exige v=Qv′.

Multiplicar Qv manteniendo los ejes antiguos puede representar una transformación activa de otro vector. La misma matriz sin esa convención no explica qué acción se ha realizado.

Si las dos bases son ortonormales en un espacio euclídeo, QᵀQ=I y Q⁻¹=Qᵀ. Entonces las componentes cambian con v′=Qᵀv y su suma de cuadrados conserva la longitud. Una matriz invertible cualquiera no cumple esa identidad.

Una matriz ortogonal puede tener determinante uno o menos uno. La primera posibilidad incluye rotaciones propias; la segunda cambia la orientación, como una reflexión. Conservar longitud no significa conservar cada componente.

Un covector α recibe un vector y devuelve un escalar linealmente. Si sus coeficientes son la columna a, la evaluación es aᵀv.

El diferencial df es naturalmente un covector: mide cómo cambia f al desplazarse en una dirección. Identificarlo con un gradiente vectorial requiere una métrica. En una base cartesiana ortonormal sus números coinciden, lo que puede ocultar esa distinción.

Un operador y=Av recibe y devuelve vectores del mismo espacio.

Una forma bilineal B(v, w)=vᵀCw recibe dos vectores y devuelve un escalar; por eso C′=QᵀCQ.

En un giro ortogonal, la inversa y la traspuesta coinciden y las fórmulas parecen iguales. Una base general deja ver la diferencia. Una matriz numérica no especifica por sí sola qué tipo de objeto representa.

La métrica G contiene los productos de las bases: Gᵢⱼ=eᵢ·eⱼ. La longitud al cuadrado es vᵀGv.

Bajar un índice asocia al vector el covector de producto escalar: v inferior=Gv superior. Elevarlo usa G⁻¹ y requiere métrica no degenerada. En el marco euclídeo G es positiva definida para una base independiente; sus coeficientes no tienen que ser identidad.

Un tensor de tipo (r, s) combina r factores vectoriales y s duales de forma multilineal. Con nuestra convención, cada índice vectorial transforma con Q⁻¹ y cada covectorial con Qᵀ. Una matriz de un tensor de tipo (2,0) no sigue necesariamente la semejanza de un operador de tipo (1,1).

Einstein omite una suma cuando un índice se repite una vez arriba y otra abajo. Un índice libre identifica qué componente queda; no se suma cualquier letra repetida sin mirar posición. El orden tensorial cuenta índices y no coincide con el rango de la matriz.

Para operadores, la semejanza conserva traza, determinante, autovalores y polinomio característico. Sus componentes y algunas normas numéricas ordinarias pueden cambiar. Una cantidad geométrica se comprueba con su regla de transformación adecuada.

Para formas bilineales, det(C′)=(detQ)²detC. Una base arbitraria no conserva ese número de matriz. En cambios ortogonales el factor es uno, lo que puede ocultar el problema. La inercia de una forma simétrica real se conserva por congruencia invertible, pero no sus autovalores ordinarios como tabla de coeficientes.

Para x=r cosθ, y=r sinθ, el jacobiano Q=∂(x, y)/∂(r, θ) tiene columnas eᵣ=(cosθ, sinθ) y eθ=(−r sinθ, r cosθ). Su determinante es r. Usamos r>0 y una rama angular local que defina una carta; el origen no queda descrito por esa base invertible.

eᵣ tiene longitud uno y eθ longitud r, de modo que G=diag(1, r²). La base unitaria angular eθ/r es otra elección: sus coeficientes no son los de la base coordenada. Los vectores cambian con Q⁻¹ y los diferenciales con Qᵀ en cada punto.

Al derivar V=Vⁱeᵢ, cambian componentes y posiblemente las bases. Una conexión registra esa segunda parte: . Para covectores aparece el término de conexión con signo contrario. Los Γ por sí solos no son componentes de un tensor.

En el plano euclídeo con su conexión de Levi-Civita, los Γ cartesianos son cero. En base coordenada polar, los no nulos son y . Aquí los símbolos se leen por su posición: índice superior de salida y dos inferiores. Esta conexión se fija por la métrica euclídea y ausencia de torsión; una conexión arbitraria exigiría otra definición.

Un cambio se comprueba reconstruyendo el objeto, una evaluación o una cantidad geométrica adecuada. En coordenadas variables también se revisa cómo se derivan las bases. Que la tabla de coeficientes parezca distinta no determina si el objeto o la geometría han cambiado.

Para el plano euclídeo en polares, el laplaciano escalar es (1/r)∂ᵣ(r∂ᵣf)+(1/r²)∂θθf. No es una suma de segundas parciales sin factores. Coeficientes de conexión no nulos tampoco significan curvatura no nula: pueden proceder de una base variable en un espacio plano.