Modelos estocásticos y simulación de Montecarlo

Una variable aleatoria asigna un número a los resultados del modelo. Su distribución dice qué probabilidades tienen esos valores. Si hay varias variables, también importa cómo dependen entre sí: conocer cada distribución por separado no determina siempre la distribución conjunta.

La aleatoriedad puede representar variación del fenómeno o ser una herramienta para calcular una integral. En ambos casos declaramos el objetivo. Una colección de números sin una regla de muestreo y una pregunta no constituye por sí sola una estimación interpretable.

Con réplicas IID de media finita μ, la media muestral μ estimada=(ΣXᵢ)/n es insesgada: su esperanza es μ. Para esa igualdad basta linealidad e igual media; la independencia cumple otros papeles, como la fórmula de varianza y el marco usual de la ley de los grandes números.

La ley de los grandes números explica convergencia al aumentar n bajo sus hipótesis. No significa que una muestra finita sea exacta ni proporciona automáticamente una tolerancia garantizada para un n concreto. Insesgo describe repeticiones del procedimiento, no la exactitud de una realización.

Si las réplicas son independientes con varianza finita σ², Var(ΣXᵢ)=nσ² y Var de la media es σ²/n. Su desviación típica, σ/√n, se llama error estándar. Mide cómo variarían las estimaciones entre repeticiones, no el error absoluto de la ejecución observada.

Para dividir ese error estándar por dos hay que cuadruplicar n, conservando distribución y dependencia. La fórmula necesita segundo momento finito. La existencia de una media y una ley de grandes números no garantiza por sí sola una varianza finita ni una aproximación normal con esa escala.

Con n≥2 y muestras IID de segundo momento finito, s²=Σ(Xᵢ−media)²/(n−1) estima la varianza de las réplicas. El error estándar estimado es s/√n. No se usa n−1 como denominador de la media ni se sustituye σ por el valor promedio.

Un intervalo normal aproximado necesita una aproximación justificada para la distribución del estimador. No es una garantía universal por alcanzar cierto número de muestras. Para variables acotadas existen otras cotas finitas, con sus propias hipótesis y costes.

La indicadora de un suceso A vale uno si ocurre y cero si no. Su esperanza es P(A), así la proporción de éxitos estima esa probabilidad.

Tampoco una varianza muestral cero en ese caso certifica precisión perfecta: solo dice que no hubo variación en lo observado. Los sucesos raros pueden requerir muchos más ensayos o métodos especiales.

La integral se estima multiplicando la media de f(U) por b−a. Olvidar esa longitud estima una media distinta de la integral.

Con densidad q, la identidad de importancia usa E[f(X)/q(X)]=∫f si q cubre donde f contribuye y existe la integrabilidad adecuada. Cambiar cómo se muestrea sin los pesos cambia el objetivo. Una propuesta que evita una zona necesaria pierde su contribución.

La varianza de una media incluye covarianzas: Var(media)=σ²/n+(2/n²)Σᵢ<ⱼCov(Xᵢ, Xⱼ) si las marginales comparten varianza σ². Correlaciones positivas pueden aumentar incertidumbre y negativas reducirla. Un simple contador de registros no determina precisión.

En cadenas de Markov se necesitan además condiciones de convergencia y estimación apropiada de incertidumbre. No se trata cada estado consecutivo como réplica IID sin justificarlo. Una construcción antitética usa dependencia negativa deliberada y analiza el estimador de pares.

Un generador pseudoaleatorio sigue una regla determinista desde un estado inicial. Para reproducir se guardan generador, versión, semilla, parámetros y reparto de secuencias entre procesos. La semilla sola no determina todos esos detalles.

Una secuencia repetible puede muestrear una distribución equivocada o repetir bloques como si fueran independientes. Se comprueban casos conocidos, momentos y transformaciones del modelo. Estas comprobaciones finitas detectan fallos, pero no prueban por sí solas todas las propiedades estadísticas del generador.

La variabilidad Monte Carlo viene del número finito de muestras. El sesgo puede venir de una aproximación del modelo, una discretización o un estimador. Las entradas también pueden ser inciertas. Aumentar n reduce la primera fuente en su marco, no elimina automáticamente las otras.

Un informe conserva estimación, objetivo, n, dependencia, SE o intervalo con condiciones y controles realizados. Si cada réplica resuelve una ecuación aproximada, también se comprueban paso temporal, malla y tolerancias. El resultado se valida para la pregunta original y no solo para la versión simulada.